序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學中的分析法范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

一、分析法的基本概念

分析法是從問題的結論出發尋求其成立的充分條件的證明方法.即先假定所求的結果是成立，分析使這個命題成立的條件，把證明這個命題轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么可以斷定原命題成立.我們稱之為“執果索因”。

要證明命題：“若A則D”思考時可以由結論D出發向條件A回溯，先假定所求的結論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

用分析法進行證明，每一步推理都是尋找充分條件，最后找到要證命題的條件。就是說，每一對相連的判斷中，后者是前者的充分條件，這樣，聯成一個邏輯鏈時，才保證了由條件A到結論D.由傳遞律得出，A是D的充分條件，從而證明了命題“若A則D”.分析法的證明中，每一步都是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，此處的“需知”是倒推的“中途點”。

二、例析分析法

要證明命題：“若A則D”.思考時可以由結論D出發向條件A回溯.先假定所求的結論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

篇（2）

做任何事情都需要講究一定的方法，用對了方法，才能事半功倍，把一件事情做得更好. 在初中數學的學習中也是一樣的，分析問題和解決問題都需要正確的方法.

一、分析法概述

對分析法的運用主要就是把整體的內容分解為若干個部分，是一個從整體到局部，從復雜到簡單的過程，再針對各個部分進行分析和探究. 在數學中的一些證明題中，逆推法就是一種分析法，它的過程就是從一種結果追溯到產生這種結果的原因，不斷地追溯上去，一層一層地分析. 還有，在求多邊形的面積時，通常我們都是把多邊形分解成若干個三角形再進行計算，這也是分析法運用的一種形式. 分析法的運用也可以把一個完整的過程分解成若干個有序的步驟，在我們所學習的列方程解應用題中，就可以把解題過程分解成幾個步驟，如假設，找等量關系并列方程，解方程，檢驗. 通過完成每一個步驟來解決這個問題，可以讓整個過程變得更加清晰，容易理解.

二、分析法的應用

分析法的運用范圍很廣，在一些幾何類的證明題中，分析法的運用具有非常明顯的特征. 下面我將舉例來說明分析法在解決問題的過程中該如何運用，具體說來，就是要從數學題的特征和結論出發，一步步不斷探索，最終達到與題設和已知條件相關聯.

例1 如圖1所示，點P是圓O外的一點，PQ切圓O于點Q，PAB和PCD是割線，∠PAC = ∠BAD. 求證：PQ2 = PA2 + AC·AD.

分析過程：根據已知條件，我們可以很容易得出PQ2 = PA·PB.

這樣，通過逐步地分析就把問題轉化成了我們所熟悉的求三角形相似的問題.

那么再根據已知條件，證明這兩個三角形相似. 連接BD，因為∠PCA是圓內接四邊形ABCD的一個外角，所以∠PCA = ∠ABD. 又因為已知中已經給出的∠PAC = ∠BAD，所以APC∽ADB. 再把整個過程反過來書寫，命題得證.

例2 如圖，在ABC中，AB = AC，∠1 = ∠2，求證：AD平分∠BAC.

這是一道比較簡單的證明題，但分析的方法還是一樣的.

分析過程：要證明AD平分∠BAC，就要得到∠BAD = ∠CAD.

由于這兩個角在不同的三角形內，因此，就要證得ABD ≌ ACD，已知條件中已給出了AB = AC，AD又是公共邊，那么只要證得BD = CD即可. 要得到BD = CD，必須要該三角形的兩個底角∠1 = ∠2，而這剛好就是已知條件. 通過這樣的分析，思路明確了之后，寫出來就很容易了.

三、綜合法概述

綜合法與分析法可以說是兩種相逆的方法，但卻又是兩種有著密切聯系的方法. 綜合法運用的具體過程就是要把事物中的不同部分，各個方面以及相關的要素綜合起來，從整體上來考慮. 也是根據已知條件推導出結論的一種思維方法. 比如我們在學習有理數的概念時，就需要把正整數，零，負整數，正分數，負分數，綜合起來研究并形成有理數的概念，這樣我們對有理數的概念才能有更加深刻和清晰的理解. 綜合并不是把各個部分進行簡單機械的拼湊，而是要找出各個部分之間的相關性和規律性. 就比如說有理數，它包括很多個部分，而這些不同的部分之間的相同點就是它們都不是無限不循環的數，這也是相對于無理數而言的. 總的來說，綜合法的應用過程是從已知條件出發，根據已知條件再進行適當的邏輯推理，最后達到解決問題的目的.

四、綜合法的應用

下面我們同樣以一道證明題來展示綜合法的具體運用.

例3 如圖，在ABC中，AB = AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC = 130°，求∠BAC的度數.

綜合法的分析過程：

從已知條件入手，把每一個已知條件發散出來，不斷地得出更多的條件.

根據AB = AC，以及AE是∠BAC的角平分線，可以得出∠DEC = 90°，又因為條件中的∠ADC = 130°，所以∠ECD = 40°.

篇（3）

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Exploration and Practice of the Discovery Teaching

Method in Mathematics Analysis Course

ZHOU Qiyuan， XIANG Xuyan， ZOU Qingyun

（Department of mathematics， Hu'nan University of Arts and Sciences， Changde， Hu'nan 415000）

Abstract Combining the characteristics of the course of mathematical analysis， Applying the discovery teaching method into mathematical analysis course is important to inspire the learning interests and voluntary learning consciousness of students and cultivate the abilities of problem-solving and team-work of students.

Key words mathematics analysis； discovery teaching methods； teaching reform； practice

發現教學法亦稱假設法和探究法，是美國認知主義心理學家布魯納提倡的一種啟發式的教學方法，是指教師在學生學習概念和原理時，不是將學習的內容直接提供給學生，而是向學生提供一種問題情境，只是給學生一些事實（例）和問題，讓學生積極思考，獨立探究，自行發現并掌握相應的原理和結論的一種方法。①布魯納認為，學生主要不是去發現人類尚未知曉的事物，而是去認識人類幾千年來的認知成果和歷史經驗。

1 對數學發現法教學的認識

所謂數學發現教學法，就是指借助教師和教科書向學生提出一系列精心設計的數學問題或作業，使學生在閱讀、觀察、實驗、解題等過程中，親自去“發現”數學的概念、定理和解題方法等，使學生成為知識的“發現者”，以達到使學生加深對知識的體驗和感悟，逐步形成學習和研究數學的積極態度與情感，掌握學習和研究數學的基本方法與技能，發展學習和研究數學的能力的目的。②

2 發現教學法在數學分析③教學中的探索與實踐

數學分析課程是高等院校數學類專業的主干課程，在培養學生形成嚴謹的邏輯思維能力和推理論證能力、提高學生運用數學方法解決實際問題的能力和開拓學生的創新能力等方面都起著重要的作用。但長期以來，數學分析的教學效果總是不能令人滿意。如何通過改革數學分析課程的教學，提高數學分析的課堂教學效果和教學質量一直是受關注的問題，近年來，也有不少學者做了這方面的研究。④⑤本文將從數學分析的概念教學、命題教學、解題教學、課后作業等方面嘗試進行發現教學法，促使學生成為知識的“發現者”。

2.1 在數學概念的導入中實施發現教學法

建構主義觀點認為，數學知識不是簡單地通過教師傳授到學生頭腦中去，而是要根據個人的操作、體驗、感悟、交流，思維由淺入深，由低級到高級，由感性認識上升到理性認識來主動構建，并通過反省來調節。⑥

關于定積分概念的建立，是通過求曲邊梯形的面積與變力所做的功而引入的。在求曲邊梯形面積時，是通過分割、近似作和得到其近似值。教學中通常是直接對曲邊梯形進行塊分割，學生往往不得要領，我們從學生能解決矩形面積的計算與逼近思想出發，利用發現法教學，提出課題：曲邊梯形面積如何用對應的矩形面積去近似代替而使得其誤差趨于零？引導學生將曲邊梯形中的連續曲線所在的邊用一條水平線段代替，就得到一個曲邊梯形面積的近似值，但誤差較大，學生不難發現：若將該曲邊梯形分成兩塊，即在底邊上插入一個分點，每一塊都用矩形面積代替它，這時的誤差就會比前面的要小.設想：如果將這些曲邊梯形分成三塊（即插入2個分點）、四塊（即插入3個分點）、十塊（插入9個分點）、一百塊、一千塊……、無數多塊，這種誤差是不是會越來越小，最終趨于零？輔助多媒體演示，讓學生表述結論，學生不難得出結論：我們的設想是可行的，即當分的塊愈多（即插入的分點越多），每個小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積，從而小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積。將此過程用準確的符號語言來敘述并輔以多媒體演示，學生很自然地解決課題所涉及問題，同時也讓學生感知了“以直代曲”的數學思想。

這樣通過明確課題，揭示矛盾，分析矛盾有助于學生對數學概念的深刻領會；有利于數學思想的滲透，同時也有利于學生認識“發現”思維的某些規律。

篇（4）

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數學思想方法”。 而小學數學教材是數學教學的顯性知識系統，看不到由特殊實例的觀察、試驗、分析、歸納、抽象概括或探索推理的 心智活動過程。 而數學思想方法是數學教學的隱性知識系統。 因此，教師在小學數學教學中，要使“數學方法”與“數學思想”結合，于無形之中讓學生在學習數學的時候了解到解決問題的思路以及由來，從而培養學生的解決問題以及數學能力，從而學會獨立借用數學思想解決問題。正所謂“授之以魚，不如授之于漁”， 要讓學生知道如何解決這道題的同時，更知道解決問題的思想，從而受到啟發，能解決于此類似或相關甚至變換、延伸出來的問題，提升學生數學素質。

一、數形結合的思想方法

數與形是數學教學研究對象的兩個側面，把數量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題，就是數形結合思想。“數形結合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。它是小學數學教材編排的重要原則，也是小學數學教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。

例如，我們常用畫線段圖的方法來解答應用題，這是用圖形來代替數量關系的一種方法。我們又可以通過代數方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等，這些都體現了數形結合的思想。

二、集合的思想方法

把一組對象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法，繼而把一定程度抽象了的思維對象，如數學上的點、數、式放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想，在小學數學中就有所體現。在小學數學中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。

如用圓圈圖（韋恩圖）向學生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個整體，這個整體就是一個集合。利用圖形間的關系則可向學生滲透集合之間的關系，如長方形集合包含正方形集合，平行四邊形集合包含長方形集合，四邊形集合又包含平行四邊行集合等。 　三、化歸思想

化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化、歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個 較簡單的問題。應當指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉化”、“轉換”。它具有不可逆轉的單向性。

例： 狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳4 1／2 米，黃鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它們每 秒種都只跳一次。比賽途中，從起點開始，每隔12 3／8米設有一個陷阱， 當它們之中有一個掉進陷阱時，另 一個跳了多少米？

這是一個實際問題，但通過分析知道，當狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每 次所跳距離4 1／2（或2 3／4）米的整倍數，又是陷阱間隔12 3／8米的整倍數，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍數”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍數”）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉 入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實質上是把一個實際問題通過分析轉化、歸結為一個求“最小公倍數”的問題，即把一個實際問題轉化、歸結為一個數學問題，這種化歸思想正是數學能力的表現之一。

四、極限的思想方法

極限的思想方法是人們從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變的一種數學思想方法，它是事物轉化的重要環節，了解它有重要意義。

現行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數”、“奇數”、“偶數”這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數是數不完的，奇數、偶數的個數有無限多個，讓學生初步體會“無限”思想；在循環小數這一部分內容中，1÷3=0.333…是一循環小數，它的小數點后面的數字是寫不完的，是無限的；在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。

那如何加強數學思想方法的滲透呢？

篇（5）

一、分層教學的必要性

班級內，學生群體上，個體間的差異普遍存在，而且多種多樣，諸如智力差異、學習基礎差異、學習品質差異、學習態度差異、學習目的差異、學習環境差異等等。心理學的研究結果表明：學生的學習能力差異是存在的，特別是學生在數學學習能力方面存在著較大的差異這已是一個不爭的事實。造成差異的原因有很多，學生的先天遺傳因素及環境、教育條件都有所不同，還有社會因素（即環境、教育條件、科學訓練），這些原因是對學生學習能力的形成起著決定性作用，所以學生所表現出的數學能力有明顯差異也是正常的。教育要面向班級每一個學生，每一個學生都有獲得知識和享受應有教育的權利。班級教學不能“放棄”任何一名學生，不能只針對某一個層次的學生，但又要滿足每一個層次學生學習和進一步提升的需要。初中數學新課標要求學生分層次提高，進而達到班級學生的最優化組合。按照教育家達尼洛夫關于教學過程的動力理論之說，認為只有學生學習的可能性與對他們的要求是一致的，才可能推動教學過程的展開，從而加快學習成績的提高，而這兩者的統一關系若被破壞，就會造成學業的不良后果。“分層教學”，實際是在大班教學的背景下，將學生依據學習情況分成幾個不同的層次，在此基礎上，對不同的學生開展不同的教育，實行不同的教學方法、制定不同的教學目的、采用不同的評價標準，從而努力使不同程度的學生在班級學習中，都能在自己已有的程度下獲得知識的進一步提升，實現班級教學水平的整體提升。

二、分層教學的過程

備課時，教師認真研究教材，抓住問題的本質，了解知識的發生、發展、形成過程，設置合理的認知層次：形象記憶性內容設為第一梯級，保證后進學生“吃得了”；抽象理解性內容為第二個階梯，使中等學生“吃得好”；知識擴展性內容為第三個梯級，滿足優等學生“吃得飽”。 作業是鞏固和提高學生所學知識的中要途經。針對不同層次的學生，布置不同的作用，才能避免差生在難題面前的受挫和無奈，也能避免優等生對大量基礎題的趣味索然，使不同類型的學生都能在作業中得到自己所需的：鞏固，還是提高，都能給以滿足。

“分層次”教學法在遵循由淺入深，由易到難的一般講課規律的基礎上，在知識和時間的安排上做了較大的改進。就新授課而言，對于不同層次的學生，在不同的教學目標下，應該才用不同的實現手段，及教學方式。如，對于成績優秀的學生，可以進行探索式的教學方式，對其思維進行更深層次的訓練；而對于依靠努力取得成績的這一類稍差一點的學生，則不妨通過各類題型的講解以及拔高題目的訓練，開拓其視野，使其掌握相對較深的解題思路；對于又差一點的學生，基礎知識的理解和掌握，則顯得十分重要。既要明確不同層次學生回答相應層面的問題，又要激勵低層面學生回答高層面的問題，完成高組的任務。分層上課就是教師在數學教學過程中，能兼顧各類層次的學生，讓其主動參與獲得發展，克服過去單一教學的傳統模式，按照分層備課的歸類，在施教過程中得以完成。

篇（6）

數學分析論證法是一門源自實踐、應用于實踐的解題方法.在中學數學中，數學分析的主要對象就是函數，由于需要使用定義來解決問題，所以出現了一些局限性，但是使用分析論證法就能夠很好地解決這一問題。

一、分析論證法在中學數學教學中的應用

1.設置生活情境，銜接知識。數學知識具有嚴密的聯系性與系統性，在進行教學時，教師應該以新課程標準為出發點，了解其中的重點和難點，并對這些問題進行深入的分析。同時，要注意到，興趣是最好的老師，為了提升分析論證的效果，教師必須采取科學有效的方式激發出學生的學習興趣。為此，教師需要將數學教學與生活相聯系，設計與日常生活相關的情景，將數學問題具體化，讓學生感受到身邊的數學知識，從而積極主動地進行學習。

以不等式的教學為例，不等式的難度不高，但是學生常常缺乏探索的興趣。為此，教師需要設置好具體的情景，鼓勵學生去感受，來體驗日常生活與現實世界之中存在的不等式關系，從理性角度來思考，用數學觀點進行歸納、類比與抽象。這樣不僅可以很好地激發出學生學習數學知識的主動性，也能夠幫助學生培養良好的數學思維習慣。

2.注重解法的分析，加強知識之間的聯系。仍然以不等式為例，不等式的解法與性質是整個教學內容的基礎，而解法是一種十分重要的運算能力，學生只有掌握好這種運算能力，才能夠對數學知識進行運用和創新。因此，教師要注意向學生展示分析論證的具體過程，不能孤立論證過程，要將其放在大環境中，加強不等式與三角、函數、數列、方程、解析幾何和立體幾何等知識的銜接。

篇（7）

多年教學實踐表明，凡是高等數學學習吃力的學生，多數屬于對極限概念理解不透徹。因此，數列極限概念的學習是至關重要的。數列極限概念的教學難點極限概念難以理解、掌握的原因在于：概念在教學這過程中涉及“任意”“給定”“無限接近”“存在”“趨向”等較抽象的術語。例如：當x0時，sinx～x，tanx～x，1-cosx～■x2，ln（1+x）～x

一、極限的和（差）做等價無窮小替換

在通常情況下，等價無窮小替換只能在作積（商）時才能使用，在其他情況下不能隨便亂用；那么，等價無窮小的和（差）是否可以做等價替換？如果可以，那么，現在討論在什么條件下等價無窮小的和（差）分別能做等價替換？

定理1：設u（x），u1（x），v（x），v1（x），當x？鄢為無窮小，u1（x）～u（x），v1（x）～v（x）且■■=A≠±1，則u1（x）±v1（x）～u（x）±v（x）

證明：■■=■■=■=1

推論：設u1（x），u11（x），u2（x），u22（x），…un（x），unn（x）當x？鄢為無窮小時

u00（x）～u0（x），u11（x）～u1（x），u22（x）～u2（x）…unn（x）～un（x），且■■=A1≠±1，■■=A2≠±1，■■=An≠±1，則u00±u11±u22±…unn～u0±u1±u1±…±un

證明：■■=■=■=1

下面我們來看幾個例子：

例1.I1=■■如果用洛必達法求得正確解為■，若用等價無窮小代替得錯解即I1=■■=■（因為當x0時，exsinx～xex

例2.I2=■■=■■=■■=1，若用等價無窮小替代得錯解I2=■■=2（因為■■=-1不滿足定理1的條件）

例3.I3=■■=■■=0（錯解，因為■■=1，正確解法請見華東師大數學分析第62頁。）

例4：I4=■■=■■=■■=-■

從例1、2、3我們可以觀察到：它們都不滿足定理1的條件即它們不滿足互不等價；而例4滿足定理1的條件，即可作等價無窮小替換的那兩個式子互不等價。所以，兩個（多個）無窮小做和（差）替換滿足的條件是它們分別作無窮小的等價替換的式子不等價。因此，和（差）作等價無窮小替換是有嚴格的條件要求的，不可以隨便作等價無窮小替換，否則，將會出現錯誤的結論。

二、統一了兩個重要極限的1∞型極限的快速、準確求法

先來看一個“1∞”型的例子，求■（cosx）■這是一個1∞型極限。我們用取對數的方法來解這一題。作恒等變形為（cosx）■=e■，則■■lncosx=■■=■■=-■，所以■（cosx）■=e■

請認真仔細觀察這個解題的過程，我們會發現并能總結得到求1∞型極限的一半步驟：

1.判斷■uv是否為1∞型極限

2.若是1∞型

則（1）令■uv=ea

其中a=■（u-1）v

所以■uv=ea

這樣，我們把兩個重要極限統一到1∞型上來討論，減少了其中的恒等變形，形式變得簡單，統一了解題方法，不但好記而且解題準確率高，因此，用這種方法解決某些較難的1∞型極限從而變得輕而易得。

例1.■（■）■

解：令■（■）■=ea，則a=■（■-1）■■=■（■）■■=■■=■■=■

■（■）■=e■

例2.■（1+■+■）n

解；令■（1+■+■）x=ea，則a=■（1+■+■-1）x=■（1+■）=1

■（1+■+■）x=e，由此可得，■（1+■+■）n=e

例3.■cosn■

解：令■cosx■=■（cos■）x，令■（cos■）x=ea則a=■（cos■-1）?x=■■?x=-■

■cosx■=■ ■cosn■=■

例4.計算■■

解：由于■■=■（cos■）■，令■（cos■）■=ea，則a=■（cos■-1）■=-■■（■）2?■=-■

■■=■

例5.計算■■

由于■■=■（1+x2ex）■，令■（1+x2ex）■=ea，則a=■（1+x2ex-1）?■=■x2ex?■=■x2?■=2

■■=e2

從中可以看出這種解題方法的優越性：不但思路清晰，步驟簡單，而且對比較困難的題也容易得出結果，因此，熟練掌握后既能提高正確率，又能提高解題速度。

三、在某些情況下，用定積分的定義求極限，但是在有些情況下，若函數不能直接轉化為（*）式，也就不能直接運用（*）式計算，因此要解決這個問題，我們要引用一個習題的結論，把它作為定理來用

若f（x）在[a，b]上可積，則可對區間[a，b]用某種特殊的劃分方法，運用定義法得到一種極限和式，如果這種和式可以通過變形即■■■g（n）=■f（x）dx…（？鄢），這種轉化就是我們通常所熟悉求定積分的方法。下面我們來看兩個例子：

例1.求■n[■+■+…+■]的值

解：原式=■■[■+■+…+■]

=■[■+■+…+■]■

=■■■■=■■dx=■

例2.求■■[sin■+sin■+…+sin■π]的值

解：原式=■■■sin[■?■]，設f（x）=sinx，x∈[0，π]，且f（x）∈[0，π]，從而f（x）可積。

所以原式=■■■[sin■?■]=■■sinxdx=■

定理2.對數列{an}，設■an=a，則■■=■■■an=■an=a

證明TH2：因為■an=a，由極限的？著-N定義知，對任意的？著>0，存在正整數N1，當n>N1，有│an-a│N1時，有│■│=│■│=│■│≤■（│a1-a│+│a2-a│+…+│aN■-a│+│aN■+a│+…+│an-a│）≤■N1?A+■≤■N1?A+？著，其中A=max{│a1-a│，│a2-a│，…│aN■-a│} 又■■=0，由極限的？著-N定義知，對給定的？著>0，存在正整數N2，使得當n>N2，有│■-0│=■N1時，有│■-a│

例1.■■■■（1+■）■

這一題型可以用定理2來計算。■■■■（1+■）■=■■（1+■）■，令yk=（1+■）k，顯然，{yk}單調增加且與上界，故yk

■■■■（1+■）■=∞，0e

此結論的∞和0容易得到，在此我們只證明結論為e■的情況。

當a=e時，令zx=[■（1+■）x]x，兩邊取對數得

lnzx=x[xln（1+■）-1]，下面計算■lnzx的值，由Taylor中值定理得，ln（1+■）=■-■+■+0[（■）3]，其中-1

通過對題型結構認真的觀察，適當的變形，這是解決問題的必要步驟和關鍵所在，能夠起到事半功倍的效果，達到解決問題的目的。

參考文獻：

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篇（8）

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）33-158-01

在傳統教育模式的影響下，現階段的初中數學教學絕大部分都是大班授課制度，此種教學方法雖然在我國教育發展史上起到了重要的推動制度，但其對于學生數學技能及知識水平的培養效果卻不是最佳的。因為學生的生理成長狀態、智力、數學基礎、學習能力等各個方面都是具有差異性的，在這些差異性的基礎上大班授課制是無法滿足學生們的學習需求的，因此必須要有新的教學方法來改變這一教學現狀，至此分層教學法應運而生。分層教學法的出現不僅改變了初中數學的教學模式，更實現了新課程改革下實現學生全體進步的教學目標，正因如此分層教學法受到了初中數學教師的普遍關注與使用，并在實踐教學活動中得到了不錯的教學效果。

一、教學主體的分層

學生是數學教學活動的主體，在數學教學過程當中所有的教學活動都是圍繞學生來展開的，所以在分層教學初期必須要先對學生進行分層，只有對學生進行科學、恰當的分層才能夠保證分層教學法的教學效果和有效性。筆者在采取分層教學法進行教學的過程中，首先在班級進行了階段性小測驗和問卷調查，小測驗當中主要分為基礎知識、難度問題以及靈活性問題三個部分，其測驗的目的是為了掌握每一個學生的數學基礎知識掌握水平，現階段的數學學習水平以及數學學習能力。而問卷調查則是為了了解學生眼中的數學，看看他們對數學學科的認知、學習興趣有多少。在此基礎上筆者將學生分為了A、B、C三個層次：A層學生數學基礎知識扎實，學習興趣濃厚，學習能力及思維靈活性強；B層學生數學基礎知識比較扎實、有一定的學習興趣，學習能力及思維靈活性一般；C層學生數學基礎知識不夠扎實、學習興趣不高，學習能力及思維靈活性較差。為了避免學生產生消極或自卑的心理，筆者在將學生進行合理的分層后，與學生探討了自己的教學想法，并將各自的分層告訴他們，讓他們放下心理負擔，根據筆者的教學計劃來進行學習，以期在教學活動完成后收到良好的教學效果。

二、教學目標的分層

教學目標是在教學主體分層的基礎上來進行的，其根據不同層次學生的學習狀態、學習水平以及學習態度來為他們設定出具有實際意義的、且能夠完成的教學目標。在這一環節當中，筆者建議教學目標設置的不要過難或過大，以免學生無法完成而對他們的學習自信和學習態度產生消極影響。根據不同層次學生的實際學校特點，筆者為他們設計了不同層次的教學目標：A層學生以課外訓練、實踐和突破為主，學會將數學理論知識運用到實際生活當中，以達到學以致用的學習狀態；B層學生以課內難度提升，解題思路的拓寬，思維邏輯性及敏捷性的提高為主，以達到能夠獨立解決中、高等難度習題的水平；C層學生以夯實數學基礎知識，培養數學學習興趣，樹立正確的數學學習態度等方面為主，以達到學生能夠對數學學科產生正確的認識和理解為主，進而主動的去學習數學知識。

三、教學內容的分層

教學內容的分層是整個分層教學活動中的關鍵環節，這一環節的教學分層工作會直接對整個分層教學的效果產生直接影響。在這一環節當中教師必須要注意好對教學內容難度的拿捏，根據不同層次學生的學習水平以及為他們制定的教學目標來由淺入深、由簡至繁的對教學內容進行分層，通過有效的課堂提問與習題訓練，來設置好教學內容的難度梯度，進而達到對不同層次學生的數學能力培養。例如筆者在進行因式分解的教學時就為學生做好了內容分層：

例題：多項式m（n-2）-m2（2-n）分解因式等于（ ）

A.（n-2）（m+m2） B.m（n-2）（m+1）

C.（n-2）（m-m2） D.m（n-2）（m-1）

在這道因式分解題當中，A層學生需要自己進行運算，來得出結果；B層學生則可以在4個選項當中選擇出自己認為正確的選項；而C層學生只需要在A與B兩個選項當中進行選擇就可以。這一樣不僅能夠節省教師在為不同層次學生準備教學內容的實踐，還能夠實現利用同一個內容來對不同層次學生的學習水平和學習能力的鍛煉，其效果可謂是事半功倍。

四、課后復習的分層

課后復習是整個分層教學過程中的總結階段，其雖不像前三個環節那樣會對學生的學習效果產生直接的影響，但其對于學生數學基礎知識的掌握、端正學習態度、以及內部學習動力的影響也是非常重要的。筆者在課后復習分層環節當中，對于A層學生筆者主要以難度實用性訓練為主，以培養學生解決實際問題及高難度數學問題的能力；B層學生筆者主要以課內拓展訓練為主，以提高學生的數學解題能力，鍛煉學生的數學邏輯性思維及頭腦行靈活性；C層學生則主要是對例題同類型習題的訓練和學習為主，讓學生加深對例題解題方法、解題思維以及解題切入點的鍛煉，切實提高他們的數學學習水平。

世界上沒有兩片相同的葉子，同樣也沒有兩個完全相同的人，所以學生之間存在的差異性是生理發展的必然規律。教師只有對學生之間存在的差異性給予充分的肯定，才能夠實現教學工作當中學生的共同進步。由于數學學科的學習需要學生具有一定的邏輯思維能力，所以學生在學習過程中會遇到一定的難度，在這種情況下，分層教學方法的使用非常有必要，其不僅能夠激發出學生對數學學科的興趣，實現數學學習水平的進步，還能夠幫助學生樹立起數學學科的學習信心，以便學生在未來學習過程中，即使遇到了難題也能夠從容的面對，并將其正確的解答出來。

參考文獻：

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學生群體的層次化異步劃分是高中數學教學過程中的先決條件，對后續教學過程的設計和課后作業的安排都有著直接的影響.按照素質教育和新課標改革的教學大綱，將高中數學教育的最終目標設置為底層的最小目標、中層的基本目標和高層的發展目標這三種.與之相對應的，將學生群體劃分為A、B、C三個層次.A組是成績相對較差，學習能力較低的學生.B組是學習成績中等，綜合素質一般的學生.C組則是成績較好，各方面素質水平都較高的學生.A、B、C三組學生的人數比重通常設置為2∶5∶3.

二、教學過程的層次化異步設計

高中數學的課堂教學是一個師生雙方彼此溝通、相互交流的教學過程.數學教師必須在課堂上充分調動起學生的學習主動性，才能發揮出學生在學習過程中的主體性地位和主觀能動性.要想實現這一理想化的課堂條件，數學教師應該全面考慮到不同層次學生對課堂內容的不同掌握程度.在設計課堂教學的知識內容時，根據學生的實際學習情況選擇與之相適宜的教學內容.

例如，在教授函數的幾個基礎概念時，數學教師可以在正式開始上課之前，向學生提出以下這些問題：

（1）函數在數學意義上的具體含義是什么？由函數中映射出的又是什么概念？

（2）為什么自變量x和因變量y會有一定的范圍限制？怎樣確定自變量x和因變量y的取值范圍？

（3）假設自變量x和因變量y的取值范圍分別是兩個集合，集合與集合之間可能存在怎樣的聯系？

（4）表示函數的方法有幾種？各種表示方法之間有哪些相同點和不同點？

（5）函數的知識點還可以輻射到哪些其它的數學知識點上？如何解決綜合型的函數應用題？

這些問題的設計有難有易.數學教師在選擇學生進行回答時，應該有意識地將問題鎖定在不同層次的學生群體中.比如，問題1太過簡單，不應該由B組或C組的學生回答，而應該留給A組的學生給出答案.問題2和問題3可以由B組的學生回答.而問題4和問題5則應該讓C組的學生進行解答.這種從易到難的問題設置，保證了全體學生都主動參與課堂學習活動的興趣與積極性，使得每一個層次的學生都能夠在回答問題的過程中樹立起學習的信心.

三、課后作業的層次化異步安排

高中數學教育中的課堂教學與課下練習是兩個相互獨立又有所聯系的有機部分.前期的課堂教學活動有了層次化的異步設計，后期的課下練習活動自然也應該繼續層次化的異步安排.學生的課下練習活動，主要是課后作業的完成過程.具體的安排方式就是為A組學生安排簡單易懂的淺層次習題，幫助其在反復練習中鞏固基礎的數學知識.為B組學生安排難易適中的中層次習題，幫助其在基礎訓練后兼顧綜合應用的數學題型.為C組學生安排難度較高的高層次習題，幫助其在完成課內知識的學習之后，還能進一步拓展數學思維和創新思維.

例如，在教授一元二次不等式的解題技巧時，數學教師可以針對學生群體的層次劃分，為學生布置三種不同的課后作業.

第一種課后作業是簡單的一元二次不等式求解問題，主要是為A組學生安排的基礎題型：

（1）4x2-4x>15；

（2）14-4x2≥x；

（3）x（x+2）

（4）-x2-2x+8>0.

第二種課后作業是求一元二次等式中自變量取值范圍的數學問題，主要是為B組學生安排的練習題型，難度適宜：

（1）y=x2-4；

（2）y=1x2+x-12；

（3）y=-x2+2x-1.

第三種課后作業是復合型的一元二次不等式問題，主要是為C組學生安排的拓展題型，解題思路較為復雜：

已知一元二次不等式kx2-2x+6k

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一、前言

榱巳醚生掌握高中數學的基礎知識和方法，并熟練運用數學思維考慮問題，培養學生的邏輯思維和方法探究的能力[1]，教師的教學方法、教學進度和內容廣度上都與初中的數學教學有很大的差異[2].面臨這些挑戰，很多高一新生無法適應新的數學學習模式，沒有挖掘出一套適合自己的學習方法，進而導致學習積極性低下，成績一落千丈.提高學生的數學學習能力，關鍵在于教師正確的引導、善于運用遷移理論以及提高課堂有效性，這對高一新生的數學學習具有舉足輕重的意義.

二、提高高中數學學習質量的方法

（一）學生提高自身學習遷移能力

眾所周知，數學知識相互關聯，以前學過的知識是新知識的鋪墊，新知識是學過知識的延伸和拓展.數學知識的獲得是一個循序漸進的過程，是經過長時間的積累來逐漸獲得的[5].比如，學習了點到直線的距離求解，有助于點到平面距離的求解；學習了三角函數，有助于對周期函數的理解；學習了向量，那么，求解幾何中的距離、空間角等問題則能夠得心應手.

學生培養遷移能力主要通過以下三個方面：

（1）建立自身的數學認知結構.數學的認知結構，簡單來說就是經過長時間的學習和積累，學習者通過感知、理解、消化進而存儲到大腦的記憶性的、相互關聯的陳述性、過程性和程序性知識[3].

（2）提高自身對數學經驗的總結概括水平.對數學知識的概括一般分為三種：先一般，后特殊；先特殊，后一般；先廣義，后具體.其中的先廣義，后具體則運用遷移的思維方法，把需要學習的材料，與之前學過的具有相同結構特征的規則聯系起來，或者與生活中的現象聯系起來.例如，在學習高中數學第一章的集合中元素的性質時，我們可以這么思考：一個班的人數為一個確定的值，對于任何人，有兩種可能，即屬于這個班和不屬于這個班，這就生動形象地闡述清楚了集合中各個元素的確定性.如果班里學生之間調換座位，這個班里還是那些學生，這個集體并沒有發生改變，這就說明了集合中元素的無序性.而班里的每名學生都是不同的人，這就說明了元素的互異性.

（3）巧用思維定式.思維定式既可以促進也可以阻礙學生遷移能力的培養.一般來說，在解決同類型數學問題時，思維定式起促進作用.

總的來說，培養自身的學習遷移能力，有利于學生建立系統的知識體系，形成數學知識認知結構.有助于學生們把所學數學知識、技能轉變為一種數學能力.

（二）教師提高課堂的有效性

在當前教育制度下，數學教學存在著許多不可忽視的問題.為了“應試教學”，有的教師講解每一個知識點都要求達到全面、詳細，以至于平常上課時間不夠用，需要加班加點來完成教學；還有的教師講課追求速度，搞題海戰術，這樣導致教學效率以及學生學習效率低下，學習壓力過大.讓學生機械重復，使得部分學生產生厭學的心理，而且這種不講效率的落后教學模式，也打擊了部分教師自身教學的積極性.

因此，在數學教學實踐中，教師有必要建立有效教學的意識，促進學生高效學習，以達到整個教學系統的良性和諧發展.

教師提高課堂有效性主要可以通過以下幾個方面進行：

（1）培養學生的發散性思維.在對數學題的解答中，一題多解普遍存在，教師應該多啟發并引導學生從多個角度思考，運用不同的知識理論來解題[4].比如，在高中必修二的第二章的直線和圓的方程中，可以利用多種解法來求解，這樣，既能增加學生的學習積極性，活躍課堂氣氛，同時又培養了學生的解題技巧與能力.

（2）通過多題一解法幫助學生提高知識遷移能力.在數學課堂中，常常提到“通法”即“多題一解法”.教師在課堂中可以針對一道題，通過變換條件或結論來解決同一大類問題，促使學生切身體會到觸類旁通、應用知識游刃有余的樂趣.比如，在高中數學必修五第三章的解含絕對值的不等式中，運用“數形結合”的方法，簡單明了.

（3）一題多變，提高學生活學活用的能力，培養創新性思維.一題多變就是對一個問題進行拓展延伸，這樣既可以使學生克服單一狹隘的思維方式，又可以增強學生收斂思維的能力.在教學中，進行“一題多變”的訓練，既可以規避孤立靜止地思考問題的局限性，也可以激發學生解題的興趣，使學生在聯想探索中創新思維，從而養成良好的求異思維能力與解題的應變能力.

通過原題，可以延伸出其他具有相關性、相似性、相反性的新問題.這可以達到深刻挖掘習題的教育功能，培養學生靈活與綜合運用知識的能力的效果.

三、結語

高中數學的學習是更高層次的學習的墊腳石，同時也是其他科目和知識的學習的風向標.學生本身作為學習的主體，應當有意培養自身在數學學習上更高的素養，善用知識遷移.教師作為學生學習的引導者和知識的傳授者，應當提高課堂效率，力求做到“授之以漁”，教學生自主學習，培養其可持續性的學習動機.為實現高中數學課程目標，提高學生的數學學習能力，為學生的終身發展謀出路.

【參考文獻】

[1]錢家凱.高中數學入門課――淺談高中數學學習方法[J].語數外學習，2013（12）：44-46.

[2]喻平.數學教學心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2010：33-35.