序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學原始概念范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

這類似的表達，書中無處不在。夏勇先生是非常明確的措辭似乎明白了什么是人權的西方的概念，并且在其他的事情，我知道西方古典中國的人權狀況，準確，完全不同。兩個完全不同的東西都不需要，需要進行比較，既似是而非的東西。稍微熟悉歷史的西方人權的讀者會很清楚的西方人權，所謂的自然權利，直接關系到人的品德。

但夏勇先生在東方和西方之間的差異，準確地表示說：“我認為中國文化在其自己獨特的方式來弘揚人的主體精神。成就功德，神圣的境界涅磐，由于個人的道德努力，本身反映了作為一個人的尊嚴和價值的人。（《人權概念的起源》P185）夏勇先生也知道，此人是根據抽象的道義上的個人，或者是抽象的倫理道德的個人主義日下跌，倒掛對人權和個人的權利，在西方是兩個不同的東西。

在這方面，夏勇先生缺陷不能說，相反，夏勇先生故意。故意的目的，就是探索西方人權概念的名稱，解決真正的問題。不幸的是，西方的概念雖然在中國的土地上廣為傳播人權的西方差異，但地球不能扎根。夏勇先生也很無奈，他是多么希望能夠“一橋飛架南北，但事實擺在面前。所以，10年后，夏勇先生還尋找權力的概念，在過去一百年的空前繁榮，特別是在革命期間，1911年“憲法”，“共和”后，為什么中國人民在面對權力，那么的無助，軟弱和無助嗎？他們怎么能在實際的社會生活中真正享受公法意義上的權利嗎？他們是如何看待權利？社會變化所帶來的1978年改革開放以來公民權利這是什么意思？為什么過去黨和政府的利益保護好，但現在他們已經侵犯。在過去一百年來，在中國的權利已成為一個流行的名詞。

和諧這個詞，成為核心詞匯的時刻之一。夏勇先生一旦這個詞表達了他的愿望，來仔細比較夏勇先生的和諧與和諧的相似性和差異目前的主流。我讀夏勇先生是最早表示的和諧理論，同時也基于對人權的和諧。

夏勇先生的博士論文《人權概念起源》提出了和諧的理念。夏勇先生探討人權的概念，尾部的“人權和人的和諧”。長尾理論的起源，似乎是順便說一下，順帶討論，但事實上，這是夏勇先生目的地先生夏勇討論花費大量的空間，人權的概念要弄清楚來龍去脈，只是一種手段，真正的意圖是要弄清楚人權概念的目的。，夏勇先生直言不諱介紹：“我們應該通過對人權的歷史事實為基礎的研究，總結了歷史上的人權和發展的規律，這將傳遞和發揚了中華民族的文化傳統，尤其是在追求和諧精神，根據社會的進步，中國的人權理論和人權制度的建立和發展的需要。這是本書的意圖所在。

篇（2）

高職教育16號文件中明確指出，課程建設與改革是提高教學質量的核心，也是教學改革的重點和難點。對此，嘉興職業技術學院堅持從市場需求出發，立足高職生成長特點，不斷探索改革教育教學模式，進一步明確了高技能人才培養方向。

在旅游管理專業人才培養方案制訂過程中，學院首先組織專業教師深入當地旅游產業進行調研，明確了該專業的教學定位是培養旅游企業、事業單位一線基層管理人員，而企業管理者必須具備人員分工、組建團隊、項目實施、員工激勵、績效考核等基本意識和素質。

與此同時，學院教改人員對傳統的教育模式進行了自我診斷，發現了許多弊端。例如，“我說你聽，我考你答，我罰你受”這種原有的教學管理模式和方法，容易在教師與學生之間形成鴻溝。在該模式下，學生被簡單地當成一個“真空的容器”，教師則一味地用知識去填充。由于學生是被動地接受信息，注意力是有限的，特別是當教師的聲音單調乏味時，更容易感到厭倦，這種“一次準備、多次重復”的灌輸式教學模式，不能根據學生情況有針對性地進行教學。而對學生的知識考核，由于缺乏過程跟蹤考核與評價，缺乏實踐演練，更是讓學生養成了“臨時抱佛腳”的陋習，從而造成“學一門、丟一門”的結局。

為此，學院在制訂人才培養方案中，嘗試引入企業管理思維，進一步明確了人才培養定位，著力提高人才培養質量。學院在進一步調研后發現，課程建設與改革是提高人才培養質量的核心與關鍵環節，專業核心課程則是課程教學改革的重點和難點。

為攻克教改中的重點和難點，學院旅游管理省級特色專業攜手烏鎮旅游股份有限公司成立“廠中校”――嘉興職業技術學院烏鎮旅游股份有限公司校區，開展人才聯合培養，共同以訂單培養的方式拓展辦學空間，校企共同確定將“公關與禮儀”這門課程確定為烏鎮訂單班的特色課程，實施旅游人才的標志化培養戰略，并以此為抓手，共同打造烏鎮特色精品旅游人才，為學院進一步明確人才培養定位積累了寶貴的經驗。

多籌并舉促教改

在教學改革中，學院領導意識到，只有真正激發學生自主學習的主動性與熱情，才能助力教學改革深入推進。為此，學院積極啟發教師實施教學改革的創新思維，幫助他們明確教學內容和教學目標。并把整個教學目標分為知識目標、能力目標和素質目標，讓學生在學習之前了解熟悉每門課程的知識點，使他們能夠對下一步的學習內容和脈絡有個初步的了解。

組建學習團隊，實施項目管理。事先告知學生學習的內容，接下來就是告知如何組織教學，并告知組建學習團隊時需要考慮成員的性別組成、特長組成、興趣愛好、人員分工以及性格傾向，團隊的組成結構及合理搭配、有序的組合都會影響到整個團隊的成績。由學生按照興趣組合的方式自由組成以7～8名成員為一組的學習團隊小組，按照學習團隊分組就座，由組長擔任項目負責人，充分挖掘每個成員的特長，取長補短、優勢互補。

明確成績考核評價方法，引導學生自主設計考核量表。能否制定合理的考核量表和評價方式是決定能否有效地調動學生參與課堂教學的積極性，能否控制好教學質量很重要的一環。針對以往的教學中通常是教師制定考核標準來考核學生的做法，學院在制定新型成績評定標準時，要求教師首先啟發學生去回答5個W，即誰來考核，考核誰，考核的內容，怎么考核，怎么達到獎優罰劣的目的，啟發學生啟動管理思維。由學生根據項目的不同，制定出考核個人業績的量表、考核團隊的量表、考核實際成效的不同量表。自行制定考核量表，這樣就對學生的學習情況實施了全面的過程動態自主管理。

按照能力漸次提高的思路，組織開展實施。在教學過程中，學院要求，要以學生個人能力訓練為主，培養他們收集信息的能力、PPT制作能力和講解能力。同時，以團隊能力訓練為主，培養團隊協調、溝通能力，合作和分工意識。比如，在講授“公關與禮儀”課程時，教師以學院承擔的西塘景區委托項目――《西塘景區游客滿意度調查》為案例，指導學生分組制作調查問卷、開展調研、匯總和整理數據、進行形象差距分析并撰寫調查分析報告，將動手動腦的能力培養貫徹在整個教學過程中，極大地調動了學生自主學習的熱情與興趣。

教改成果育新知

經過一輪教育教學改革與探索，嘉興職業技術學院教育教學質量穩步提升，同時也讓教師對高職教學有了新的認識――在這樣一個信息爆炸的時代，網絡信息無處不在，教師適當的引導，恰當的方法就可以讓學生在知識的海洋中自由地擷取珍寶，學生展示的作品往往超出了教師的意料和想象。

很快，嘗到了教改甜頭的教師不由自主地發出了這樣的感嘆：原來我們的學生是如此的優秀！企業管理思維下的項目化教學促使學生不斷發現自我，去發掘自身的學習潛力。學生發現自我、完善自我的過程，也是對自我再認識的過程。

教師和學生之間絕對不是簡單的居高臨下的教與學的關系，師生之間完全可以互教互學。真正的教學相長不僅會打開彼此心靈的窗戶，還對教師業務知識的提升、師德師風的建設起到很大的促進作用。

平等和尊重是開展課堂教學改革的核心。教師必須放低身段，放下架子，擺正自己的位置，以平等的身份發自內心地尊重學生，尊重他們的自主創造，這樣才能激發學生發自內心的愉悅和創造力，并自覺地接受教師的引導，學生開心了，才能全身心地投入到項目的學習和實踐中去，并嘗到學習的無窮樂趣。

篇（3）

一、選擇題

1下列說法中,正確的是

(

)

A.弦是直徑

B.半圓是弧

C.過圓心的線段是直徑

D.圓心相同半徑相同的兩個圓是同心圓

2如圖MN為☉O的弦,∠M=30°,則∠MON等于

(

)

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

3.下列說法中,錯誤的是

(

)

A.直徑相等的兩個圓是等圓

B.長度相等的兩條弧是等弧

C.圓中最長的弦是直徑

D.一條弦把圓分成兩條弧,這兩條弧可能是等弧

4.在☉O中,直徑AB=a,弦CD=b,則a與b的大小關系為

(

)

A.a>b

B.a≥b

C.a

D.a≤b

5

如圖1,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,則∠BOC的度數為

(

)

圖1

A.25°

B.50°

C.60°

D.80°

二、填空題

6.如果圓的半徑為3,那么弦長x的取值范圍是

.

7如圖2,點M,G,D在半圓O上,四邊形OEDF,HMNO均為矩形,EF=b,NH=c,則b與c之間的大小關系是b

c(填“”).

圖2

8如圖3,在平面直角坐標系xOy中,點M的坐標為(3,0),☉M的半徑為2,過點M的直線與☉M的交點分別為A,B,則AOB的面積的最大值為

.

圖3

三、解答題

9.如圖,已知AB為☉O的弦,點C,D在AB上,且AC=BD.求證:∠AOC=∠BOD.

10.如圖4,CD是☉O的直徑,A為DC的延長線上一點,點E在☉O上,∠EOD=81°,AE交☉O于點B,且AB=OC,求∠A的度數.

圖4

11.如圖5,A,B,C是☉O上的三點,BO平分∠ABC.求證:BA=BC.

圖5

12.如圖6,兩個正方形彼此相鄰,且大正方形ABCD的頂點A,D在半圓O上,頂點B,C在半圓O的直徑上,小正方形BEFG的頂點F在半圓O上,頂點E在半圓O的直徑上,頂點G在大正方形的邊AB上,若小正方形的邊長為4,求該圓的半徑.

圖6

答案

1-5

BDBBB

6.[答案]

[解析]

圓的半徑為3,則圓中最長的弦即直徑的長度是6,因而弦長x的取值范圍是0

7.[答案]

=

[解析]

如圖,連接OM,OD.

四邊形OEDF是矩形,

b=EF=OD,同理c=OM.

OM=OD,b=c.

8.[答案]

6

[解析]

AB為圓的直徑,AB=4,

當點O到AB的距離最大時,AOB的面積最大,即當OMAB時,AOB的面積最大,最大值為12×3×4=6.故答案為6.

9.證明:OA=OB,∠A=∠B.

在OAC和OBD中,OA=OB,∠A=∠B,AC=BD,

OAC≌OBD(SAS),∠AOC=∠BOD.

10.解:連接OB,如圖.

AB=OC,OB=OC,

AB=OB,∠A=∠2.

∠1=∠A+∠2,

∠1=2∠A.

OB=OE,∠1=∠E,∠E=2∠A.

∠EOD=∠A+∠E=81°,

3∠A=81°,∠A=27°.

11.證明:連接OA,OC,如圖.

OA=OB,OB=OC,

∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.

BO平分∠ABC,

∠ABO=∠CBO,

∠BAO=∠BCO,

OAB≌OCB,BA=BC.

12

解:連接OA,OD,OF,如圖.四邊形ABCD為正方形,CD=AB.又OD=OA,OC=OD2-CD2,OB=OA2-AB2,OC=OB.

設OB=x,則OE=x+4,AB=2x.

在RtAOB中,OA2=OB2+AB2=x2+(2x)2=5x2.在RtOEF中,OF2=OE2+EF2=(x+4)2+42.

又OA=OF,(x+4)2+42=5x2.

篇（4）

數學是以現實世界中的空間形式和數量關系為研究對象的學科，由于一切事物的特性或事物間的關系在不同程度上都需要通過一定的量的關系來加以描述，因此數學是我們認識世界的基礎。在人類不斷認識和改造世界的過程中數學自身也在發展，它已成為現代社會中一般成員必備的科學文化素養，是各類勞動者不可缺少的知識，更是學習各專業知識的重要基礎。在各類專業學習中，數學都是作為一門重要的必修課，因為數學的學習直接影響專業知識、技能的學習。在數學中數學概念是非常重要的一個內容，正確地理解數學概念是掌握數學知識的關鍵，是進行數學判斷、推理的前提。只有概念明確，才能判斷準確，推理有據，只有深刻理解數學概念，才能提高解題的能力。因此，搞好數學概念教學是提高數學教學質量的一個重要方面，本文就數學概念的教學談幾種方法。

從實例引入

數學知識是前人通過辛勤的智力勞動獲得、積累并證明的正確結論，它的獲得過程蘊含著培養智力的因素，它所運用的歸納、論證、推理等邏輯方法訓練人的思維，具有可貴的啟發智力的作用。數學內容可分為科學的數學內容和作為教材的數學內容；科學的數學內容一般結論精確、邏輯嚴密，作為科學專著，其目的是讓讀者明確并信服相應的數學理論。而作為教學內容的數學，其教材除了保證必要的嚴謹性以外，更力求于理解。它不僅要保證相應的理論和方法讓學生信服，而且還要讓學生完全理解，還必須吸引學生的學習興趣，能夠提高學生的能力。但由于篇幅等因素，一般的教材，尤其是職業學校的教材，不可能具備上述條件，因此教師就要想辦法，充分備課加以補充，尤其是對數學概念的教學。數學概念分為原始概念和推出概念。對于原始概念，不能用別的數學概念去定義，只能從實際事例中抽象理解。如集合、平面等。對于一般的概念，在傳統數學教學中，往往忽視給概念，下定義的過程，而僅僅強調“從定義出發”，只是注重了內容的學習。如果從概念定義到概念定義或采取直接定義的方式來引入某個數學概念，學生也不易理解，也沒有注重思維方法的培養，這不符合數學發展智力的作用和素質教育的要求，因為學生沒有參與概念的形成。即便是死記硬背，把概念機械地記下來，也只能是知其然不知其所以然。而運用啟發式從實例出發經過分析、比較、綜合、抽象、概括等一系列思維活動，不但能理解抽象的數學概念，而且學生充分參與到概念的形成中，培養了學生的思維能力。因此在數學概念教學中，如果是原始概念，最好用實例去解釋，讓學生來理解。而對于一般的數學概念，也要從具體實例出發，運用啟發式，讓學生參與到概念的形成中去。例如函數的概念，就可以運用生活中的實例：以一種書的數量、書價與所付款的關系來進行講述，形成自變量、應變量的關系，抽象出數學概念。對于數學概念的教學來說，從實例引入，抽象出數學概念是一種很好的方法，當然不能一概而論。

概念對比法

在數學中，概念非常多，而且很相象。學生學習起來易產生混淆。采用對比法，可幫助學生對概念的理解，如指數函數和冪函數，對數函數和指數函數。通過分析它們的區別從而使學生分清各函數的性質，以便利用性質解題。如果把新概念與舊概念對照起來講，不僅能使學生比較順利地接受、理解新概念，還能使學生從中看到新舊概念之間的區別與聯系，對理解新舊概念都有幫助。如函數概念是反函數概念的基礎，對于反函數概念的理解，是在函數概念的基礎上，因為反函數也是函數，符合函數的概念。通過學習反函數，又加深了對函數概念的理解。因此運用對比法進行數學概念教學，尤其是對于相似的數學概念非常有效，所以這也是幫助學生理解數學概念的一種方法。轉貼于

從簡單概念引出復雜概念

許多概念是由其他概念推出來的，而數學知識具有嚴密的邏輯性，前一個知識往往是后一個知識的條件或基礎。因此對于數學概念來說，除原始概念外，都是前一個概念的深化和更高度的概括。所以在講授新概念、尤其是復雜的概念時，若能在舊概念、舊知識的基礎上，從簡單的概念入手，引出復雜概念，從低級概念引出高級概念，則能起到很好的過渡作用。如利用學生熟悉的變速直線運動中求某一時刻的速度的方法引入導數概念，會很容易理解導數的概念。利用這種方法，大大降低了學生接受復雜概念的難度。因此，利用深入淺出的方法來理解復雜的數學概念也是一種化難為易的好方法。

利用圖像法

有的數學概念可以利用圖像進行輔助教學，例如函數的特性（單調性、有界性、周期性）、導數的幾何意義都可以利用畫圖的方法進行直觀說明。圖像具有直觀性，對于較復雜的數學概念用圖像來說明可以達到事半功倍的效果。

篇（5）

概念，思維的基本形式之一，反映客觀事物的一般的、本質的特征。人類在認識過程中，把所感覺到的事物的共同特點抽出來，加以概括，就成為概念。因此，概念從邏輯結構上看，就是反映某種事物及其特有的本質特性的思維形式。具體到數學教科書來說，數學概念指的就是書本中那些名詞術語的釋義。它們中，一類是占量較多而給一定義的，如有理數、無理數、方程、平行、垂直、相似形、軸對稱圖形、函數、數列、數列的極限等等，另一類是占量較少而不給定義的，如點、直線、平面、集合、對應、同側、異側等等，對它們只做些簡單描述性的說明。

每一個概念都有它自身的內涵和外延。內涵是指這一概念所包括的對象的一切基本屬性的總和，外延是指適合于每一概念的一切對象。概念的內涵和外延之間，還存在著反比例的關系，即概念內涵擴大，外延就縮小；內涵縮小，外延就擴大。概念有種（概念）、類（概念）之分，平行四邊形和菱形的關系正好說明這一點。

二、數學概念在數學教學中的作用

正確理解數學概念是掌握數學規律的前提。數學概念是數學的一般知識，它包括定義、定理、公式、性質、法則。數學概念是數學中進行邏輯推理的基礎。如果概念不清或錯誤，那么由概念構成的判斷、推理就會產生錯誤的論證和運算，更談不上得出正確的結果。例如初中數學中算術根的教學，近幾年使用的教材是這樣描述的：正數正的方根叫算術根。顯然這是定義，而下定義的概念（正數正的方根）的外延（所有正數的方根）容易被下定義概念的外延（所有正數正方根，所有零的方根）。這違反了下定義的外延相等的規定，于是就成了一個過窄的定義，在這種過窄的定義的指導下，學生在理解時經常出現錯誤。例如:

1.當x為何值時 =- 。

解：當X＜-1時等式成立。

2.求函數Y= 的定義域。

解：X＞-3的一切允許值是該函數的定義域。

上述二例忽略了X=-1和X=-3時的可能性，使題解失去了完整性。因此，正確的算術根的定義應該是：非負數的非負平方根的叫算術根。

三、在數學教學中如何利用數學概念

1.尋求形成根源，理解概念。

數學概念教學的第一步是引入概念，它是理解和應用概念的前提，如何引入呢？我覺得應從尋求其形成的根源入手。

幾乎每一個數學概念的引入都伴隨著一個動人的故事，如引入無理數時，可向學生介紹無理數發現的背景；又如講解析幾何時可向學生介紹笛卡爾，講二項式定理時可向學生介紹楊輝三角。了解一個概念的發生、發展過程，有利于學生對某一概念的形成，同時，數學史也是對學生進行思想教育的極好教材。

2.用直觀的對比方法引入概念。

新數學課程標準別指出：抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景和形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。一個概念在學生思想上的形成是有一定過程的，教師在教學中應從具體到抽象、從現象到本質，引導學生逐步形成概念，運用直觀對比的方法引入概念，就可以達到新課標提出的要求。它往往比單純孤立地講授概念效果要好。它可以將抽象思維轉化為形象思維，這樣既可避免學生聽起來感到枯燥無味，又可減輕他們記憶的負擔。在中學數學里，不少內容是可以通過直觀對比方法來引入的，如：立體幾何里講異面直線概念時，可以先讓學生觀察教室里或生活中的各種實例，再看異面直線的模型，抽出本質特征，概括出異面直線的定義，并畫出直觀圖，即沿著實例――模型――圖形――想象的順序逐步抽象形成正確的概念。現行的各種版本的新教材中，在每章的前面，都設計了“章頭圖”，這些圖形都是學生們非常熟悉的事物，以此加強學生對數學概念的認識。有些內容，若“數”、“形”能夠結合的一定要盡量結合起來講，不能怕麻煩，如在實數集合、指數函數、對數函數等內容的教學中，都可以用數形結合的方法來組織教學。

3.利用聯系對比，鞏固概念。

在中學數學中，有許多概念既有本質不同的面，又有內在聯系的一面，教學中，如果只注意某一概念的本身，忽視不同概念之間的聯系，那么就會使學生對概念的掌握停留在膚淺的表面上。因此，我們應采用聯系對比的教學方法使學生區別異同，防止概念的混淆，起到深化鞏固概念的作用。

如：函數，結合中學階段所講的函數概念，指出函數就是從定義域到值域的一類特殊映射，所以映射中的集合A、B必須是非空的數的集合；其次，作為函數其對應關系與映射也不盡相同，請看下列從集合A、到集合B的映射（AB中元素為實數）。

（1）在圖（a）中，B中每一個元素在A中都有唯一的原象；

（2）在圖（b）中，B中每一個元素在A中都有原象（但不唯一）；

（3）在圖（c）中，B中部分元素A中無原象（b3）。

那么圖(a)(b)相應的映射無謂函數，而圖(c)則不是函數。映射作為函數，必須滿足以下兩條：集體A，B是非空的數的集合；集合B中每一個元素在A中都有原象。

4.用發展、變化的觀點，深化概念。

篇（6）

數學學科本質二：對數學思想方法的把握。基本數學概念背后往往蘊涵重要的數學思想方法。數學的思想方法極為豐富，小學階段主要涉及哪些數學的思想方法呢？這些思想方法如何在教學中落實呢？我們的基本觀點是在學習數學概念和解決問題中落實。小學階段的重要思想方法有：分類思想、轉化思想（叫“化歸思想”可能更合適）、數形結合思想、一一對應思想、函數思想、方程思想、集合思想、符號化思想、類比法、不完全歸納法等。

數學學科本質三：對數學特有思維方式的感悟。每一學科都有其獨特的思維方式和認識世界的角度，數學也不例外，尤其數學又享有“鍛煉思維的體操、啟迪智慧的鑰匙”的美譽。小學階段的主要思維方式有：比較、類比、抽象、概括、猜想――驗證，其中“概括”是數學思維方式的核心。

篇（7）

能力的基礎。

中學數學里有各種各樣的概念，由于各個概念的具體內容，和它在數學中地位和作用的不同，數學概念有主要和次要之分，有難學和易學之分，有一般和關鍵之分。因此，對各個數學概念的教學具體要求也應有區別。一般來說，對數學中一些重要概念的教學應使學生得到較系統的知識，即使學生認識了概念是如何產生和發展的，但要明確數學概念，最主要的就是使學生掌握概念的內涵和外延及其表達形式（也包括定義名詞符號），還要了解有關概念之間的關系，成為系統的知識，并能運用概念知識來了解數學問題。即要求理解、鞏固、系統、會用，為了達到這樣的要求，下面探討有關數學概念的教法問題。

1、數學中如何引入新數學概念

有的數學概念是直接從客觀事物的空間形式和數量關系反映出來的，有的則是在抽象的數學理論基礎上經過及其抽象才產生發展出來的。

但是數學概念不管如何抽象，都有它具體內容，對于中學數學概念的具體內容，中學生在生活和學習過程中，或多或少都有過接觸。因此在中學進行新概念教學時，既要從學生接觸過的具體內容引入，也要從數學內部的問題提出，這是比較好的一種教學方法。

例如：正負數的教學，一般是從有相反意義的量引入正數和負數，同時也要從正數減法運算產生矛盾，指出需要引入負數，又如無理數的概念教學可以無公度量的存在引出無理數，也可以從正數開方的產生矛盾引入無理數。

2、數學概念的外延和內涵的教學方法

對于原始概念的教學，一般是通過對具體事例的觀察，找出某些特性，并給予說明或描述，使學生認識這個原始概念所反映的現象的范圍和屬性。例如在幾何中關于“點”的教學，可以讓學生觀察箭頭的尖端木板上外刺得痕跡，從而抽象出“占有位置而無大小”的概念，還應說明大小關系式無足輕重的，也就是對它的大小不加可否。正因為它脫離世界的物質內容，因此在數學中就可以吧箭頭的尖端，或者針刺的痕跡作為“點”的模型。

對于定義的概念教學應重點講解定義中的種概念和屬概念的類差，使學生認識被定義的概念既具有它的種概念的一切屬性，又具有它自己獨有的特性既定義中的類差，這樣學生就初步認識了概念的內涵。為了是學生對所學的概念加深認識，可以用概念的分類方法或者與其他有關概念比較的方法，進一步弄清楚概念和概念之間的關系，既概念的外延。

例如，在平面幾何中，講授圓的概念時，應強調指出圓是“平面內點的集合”這就是把圓與球面區別開來。另外還應強調指出，圓具有它自己的特性，即圓的任一點具有“到一定點等于定長”這個性質，這就是圓區別于其他平面、曲線的特征。學生掌握了圓的內涵與外延，就不難了解為什么一般圓弧不叫圓，也不難理解球和圓的區別。

3、如何使學生認識概念間的關系

中學數學概念在教學過程中是不斷發展的，根據概念的互相聯系構成一個數學知識體系。因此，數學教學必須使學生逐步認識數學概念間的關系，從而系統掌握數學基礎知識。

為了使學生認識概念間的關系，數學上一般采用概念分類，或者比較概念的內涵和外延，找出它們的共同點和不同點，從而找出它們的各種關系，如同一關系、包含關系等。

例如，為了使學生對實數概念得到較全面系統的認識，在復習實數概念時可以先把實數進行分類，寫出分類表。通過分類表指出數的概念從自然數到有理數導實數的擴充過程，進一步比較各種數集及其運算性質。從而指出數的概念擴充原則以及各種數集間的關系。這樣，學生會對數的概念得到清晰的系統的知識。

4、要是學生正確理解并運用數學概念的名稱和符號

篇（8）

【中圖分類號】 G424 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962（2013）02（b）-0042-01

1 數學公理化方法概述

1.1 數學公理化方法的內涵

純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統的基本概念、基本關系用抽象的符號表示，命題由符號組成的公式表示，命題的證明用一個公式串表達。一個符號化的形式系統只有在解釋之后才有意義。同時，作為一個符號化的形式系統，可以用來提供簡潔精確的形式化語言；提供數量分析及計算的方法；提供邏輯推理的工具。

公理化方法的具體形態有三種：實體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構起來的理論體系分別為《幾何原本》、《幾何基礎》和ZFC公理系統。

1.2 公理化方法的基本思想

數學是撇開現實世界的具體內容來研究其量性特征形式與關系的。其結果只有經過證明才可信，而數學證明采用的是邏輯推理方法，根據邏輯推理的規則，每步推理都要有個大前提，我們不難想象到，最初的那個大前提是不可能再由另外的大前提導出的，既是說，我們的逆推過程總有個“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現這樣的情況最原始的概念無法定義。

因此，我們要想建立一門科學的嚴格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學科的某些概念以及與之有關的某些關系作為不加定義的原始概念與公設或公理，而以后的全部概念及其性質要求均由原始概念與公設或公理經過精確定義與邏輯推理的方法演繹出來，這種從盡可能少的一組原始概念和公設或公理出發，運用邏輯推理原則，建立科學體系的方法叫做公理化方法。

2 數學公理化方法的邏輯特征

2.1 協調性

無矛盾性要求在一個公理系統中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結果也不能矛盾，即不能同時推出命題A與其否定命題，顯然，這是對公理系統的最基本的要求。如何證明給定的公理系統的無矛盾性呢？若想通過“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒有矛盾”來證明是不可能的。

2.2 獨立性

獨立性要求在一個公理系統中，被選定的公理組中任何一個公理都不能由其他公理推出。獨立性其實要求的是公理組中公理之間不能有依從關系，若某一公理被其余公理推出，那它實質上就是一個定理，在公理組中就是多余的，所以，獨立性要求公理組中公理數目最少。

2.3 完備性

完備性要求在一個公理系統中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統的全部真命題，所以，公理不能過少，否則就推不出某些真命題，這是關于完備性的古典定義。現代數學常借助模型的同構給公理系的完備性下定義，即如果公理系T的所有模型或解釋都彼此同構，就稱這個公理系是完備的。

在上述公理化方法的三個特征中，無矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨立性從理論上講，從完美簡煉上講，應該要求，因為公理和定理在整個系統中處的地位不同，公理是出發點，定理是推出的，不能混在一塊。但是，獨立性要求有時可降低。現行中學幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對象轉向研究其公理系不完備的對象”被認為是現代數學的特征之一。

3 數學公理化方法在研究數學中的作用和意義

3.1 表述和總結科學理論

公理化方法使有關的理論系統化，把它們按照某種邏輯順序構建成一個系統，因而便于人們系統地理解知識體系，便于掌握理論的本質。它是應用演繹推理的基本方法，它為認識世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學理論一種比較完善的方法，它為各門科學提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進理論的完善和嚴格化。它賦與數學內在的統一性，有助于人們了解數學各分支、各部門之間的本質聯系。

3.2 完善和創新理論

公理化方法的應用要求一門科學的充分成熟：積累了一定數量的基礎知識，進行了一定的系統分析和研究，對該門學科知識結構有了較深入的理解。因此，實現公理化的過程也是深入研究理論體系的過程。采用公理化方法還可以發現和補充理論系統中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創建新的理論。

3.3 培養和熏陶人們的邏輯思維能力

數學學習，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學會如何去獲得這些知識，即學會正確地進行數學思維，邏輯思維正是數學思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數學能力。而公理化方法使邏輯思維在數學中的作用得以充分發揮，大大提高了數學教育的成效，實現高度的思維經濟，這無疑對培養和熏陶學生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個數學系統和分支的內在規律性，從而使它系統化，這也無疑有利于人們學習和掌握。

4 結語

公理化方法是是建立某些抽象學科的基礎，是加工、整理知識，建立科學理論的工具，公理系統的形成是數學分支發展的新起點。公理化方法有助于發現新的數學成果，可以探索各個數學分支的邏輯結構，發現新問題，促進和推動新理論的創立和發展。對各門自然科學的表述具有積極的借鑒作用。同時公理化方法對于學生理解和掌握數學知識、數學方法及培養學生邏輯思維能力具有重要作用。公理化方法本身及其在數學理論和實踐應用中的巨大作用，隨著科學技術的發展還在繼續向前發展。

參考文獻

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一、數學史融入數學教育的資源開發

小學階段，學生從最簡單的自然數開始逐漸接觸分數、小數等數系方面的知識。除了同一數學分支的學習在不斷地縱向延伸拓展外，學生還開始慢慢接觸多個數學分支，比如幾何的初步認識，概率統計方面的初步認識，這些由“標準”的四大知識領域的劃分就可以得到印證。但是長期以來小學階段的數學知識主要是集中在其中的兩部分，即：數與代數、空間與圖形。這里將以小學“數與代數”知識領域的一些重要知識點為基礎，研究其中比較基礎的數學概念，編寫一些適合一線教師在課堂可以直接使用的歷史材料。

（一）自然數源于“比較”

毫無疑問，自然數是世界上公認的產生最早的一類數。英譯為nature number，可見中文和英文的意思是一種直接的對應，“有自然而然產生出來的意思”。通常認為原始人類在運用匹配的方式計數以及考察動作的順序時產生了自然數的概念，在自然數的概念產生的同時也產生了自然數的算術四則運算法則，隨著運算的發展即自然數在生活中的應用，自然數的概念逐漸完善。

最初，原始人過著居無定所的“流浪”生活，靠狩獵為生。在長期狩獵與分配的過程中，他們逐漸形成了“有”和“無”、“多”和“少”的概念。在“有”中漸漸知道“1”和“多”的區別。例如，收獲獵物與空手而歸，就產生了“有”和“無”的概念；在分配獵物時，每人一個一個地分，以滿足每個人得到的數量能相等，在每人分一個不夠時和每人分完一個還有剩余時，就產生了“少”和“多”的概念。有研究表明：有些動物也有能辨別數目多少的才能。這種按人數一個一個地分配獵物，事實上就是匹配的方法，這里蘊含的是“對應”的思想，在歷史上被稱為“數學的第一次抽象”。或許這就是函數“對應法則”的最初原型吧。初入學的小學生和原始人認識自然數的思維過程是相似的。心理學研究表明，低年級學生的數概念已基本形成，能夠理解數與實物的對應關系。所以，在低年級引入自然數的概念時，應該考慮到孩子的心理特點：先叫他們感受“有”和“無”的區別，然后再辨別數量的“多”和“少”。而在一年級教材中，也正是先讓學生認識具體物體的個數，然后才抽象出數的概念的。教師在此階段的教學中，不可急于求成，讓學生慢慢地在“掰著手指頭”“一一匹配”的基礎上，感知事物數量的多少關系。

在生產實踐中，人們匹配的對象不斷擴展，例如手指、小石頭、貝殼等等。盡管匹配的對象多種多樣，但是人們發現它們在數量上有某種共性，例如一根手指、一塊石頭、一個貝殼等，都包含有一個共同的特征“一”，這樣就抽象出了數字“1”的概念。英國哲學家兼數學家伯特蘭羅素（Bertrand Russell，1872~1970）說：“當人們發現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數字2）時，數學就誕生了”。當然，也就隨之逐漸地抽象出用來表示數字的“2”“3”等等，但是隨著感知數量的增加，先民卻很難突破大于3的數，大于3的數他們都理解為一堆或一群。對于兒童而言也是如此，所以一年級的小學生先學習0-9的認識和運算，在學生學習基本的點數動作語言之后，接著學習10-20的認識和運算。慢慢這些匹配的對象演化為人們的記數工具。由于這種記數工具不易攜帶和保存，人們想到用結繩的方法來記數，并逐漸發展為在石頭、木、竹片或骨上來“刻痕記數”。但是人類把數的共同特征抽象出來，并采用與大多數具體事物無關的某個語音來代替它，或許經歷了很長時間。既然如此，在運算教學中，應讓學生借助大量直觀的“匹配”活動，比如數手指等，慢慢形成抽象的自然數。而不能急于求成，直接將運算知識交給孩子。這對學生思維的發展是毫無益處的。

（二）分數源于“分”的需要

隨著人類社會發展的不斷進步、人類實踐活動范圍的不斷推廣，在生產分配過程中常出現不能均分的情況、在測量或計算時不能得到整數的結果，分數自然而然就產生了。在小學，分數概念的引入，也是出現在不能平均整分的情境下。分數的概念從對漢字的考證來看，原始分數的概念來源于連續量的分割。殷商甲骨文“八”字，據考釋是“分”的意思；《說文八部》中的解釋是“八，別也。象分別相背之形。”周代金文中已常用“分”字：“分，別也。從八而刀，刀以分別物也”。《新華字典》中的解釋可取為“分開，劃分開，跟‘合’相反，引申為取整數的一部分”。在英語中分數是“fraction”一詞，也有“小部分，片斷”的意思，它能追溯到拉丁詞“frangere”，是“打碎”的意思。它是源自過去分詞“fractus”的詞干派生的后期拉丁語“fractio”，意為“破裂”或“碎成一片片的”。

盡管各個國家的語言文化背景和社會政治經濟發展不同，但是對“分數”概念的理解卻有異曲同工之處，基本都理解為“被分割的數，被打碎的數，破碎的數”。所以，分數在原始人的思維起源應是一種事物不能夠均分為幾份了，那么一個整體就要被“打破了”來分。

分數的概念最早可以追溯到巴比倫人，他們采用六十進位制，但只不過限于簡單的、、等。在量的意義上，他們把它當作“整體”來看待，而不是一的幾分之幾，因為分數是從量的度量（同另一量相比有這種對應關系）所得出的結果。例如，當把一元錢與一角錢對比時，就可以把一角錢寫成，但是卻把本身看成一個單位而不是一個分數，這是二者之間的一種“比較”，而不是“二者之比”。而我們今天通常把一元錢看成整體，把一角錢看成它的一部分，那么相對于一元錢就是一個分數了。埃及人表示分數的方式比我們今天要復雜得多。他們通常在整數上加一個卵形（或者是一個小圓點），表明它是分數。除幾個特殊的分數外，他們的分數一般都拆成單位分數的和的形式。毫無疑問，對古埃及人來說這其實是一件極其復雜的事。古希臘時期（通常認為是公元前600年到前300年）人們把分數看成“兩個整數之比，不提到整數的部分，而且只在比例里用到比”。而且認為：宇宙間一切現象都可以歸結為整數或整數之比。事實上，這乃是畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的理念。經過時間的洗禮，希臘時期（一般認為是公元前300年到公元600年，或稱亞歷山大里亞時期）他們發明了特殊記號來表示分數。例如，在寫分數時，他們在分子上加一個重音符號，然后再把分母寫一次或兩次并加兩個重音符號。

從上面能看到古巴比倫、古埃及和希臘，都有關于分數的記載，但是多是關于分數如何表示，卻沒有關于分數起源的記錄。分數在我國起源于何時，有待考證。但是可以說，我國古代數學在分數理論方面有著悠久的歷史和卓越的貢獻。有學者認為，中國是分數的故鄉，分數概念最早可以追溯到商代，即文字出現的初期。在兩周的金文中、戰國的銅器銘文中、秦漢時期的著作中，都已出現了表示分數的概念。在《九章算術》（公元50~100年）以及《九章算術劉徽注》（公元263年）中都有關于分數概念、四則運算和基本性質的詳細闡述。書中包括“合分術”“減分術”“乘分術”和“經分術”。分數是在“合分術”中從除法運算引進的：“實如法而一。不滿法者，以法命之。”“命之”可理解為命名為分數，即定義為分數。這句話的意思是：被除數（實）除以除數（法），如果不能除盡，則以余數作分子，除數作分母，定義一個分數。可以說，《九章算術》中用除法來引進分數，是對原始的樸素的分數概念的自然發展。在古書《孫子算經》（約公元300~400年）中記載：“凡除之法，……除得在上方。……實有余者，以法命之，以法為母，實余為子。”就是說，若除不盡有余數，便用一個分數來表示，以法作分母，以余下的實作分子。可以說“分子、分母”即是“上實、下法”“分子、分母”估計大概是形象地取“兒子、母親”之意吧——兒子來之于母親。

值得注意的是，我國古代用算籌來擺置分數，并沒有分數線，那時也不需要分數線。據說分數線是阿拉伯人發明的。現在的分數表示法也是符合我國古代所提倡的“上實、下法”的規則的，只是在中間加了分數線而已。南北朝時期（公元420~520年）的《張丘建算經》給出了帶分數的乘除問題以及分數的混合運算問題。可以說，中國在此時就建立起了完整的分數理論。

分數概念的形成與發展和數系中其他分支的演變一樣，不同國家的發展軌跡不同，但是最后都能達到殊途同歸。前面主要介紹了分數在幾大文明古國中的歷史演變，可見對分數理論貢獻最大的非中國莫屬。現在分數的表達形式也與古代中國“上實、下法”的形式一致。將分數的起源和歷史演變講給學生，無疑能加深學生對分數概念的理解和應用，同時能激發學生對分數的親切感和對祖國悠久歷史以及眾多發明的熱愛之情。

二、教學中的應用

數學教師是數學教育的主要力量，是將數學史與數學教育從理論到實踐轉換的直接力量。已有研究表明，教師認同數學知識的歷史能有效促進數學教學，能有助于學生的數學學習，能促進學生智力和非智力的發展。但是由于受多種因素的限制，比如課堂上沒有時間；很多小學數學教師沒有接受過專門數學史知識的學習和訓練，自己對所教授知識的歷史并不了解；一些教師力求在課堂上滲透相關的知識，但造成的結果只是流于形式；一些教師課業任務繁重，沒有時間進行相關知識的充電以及真正的課堂上沒有時間進行相關知識的補充。產生的結果是教師對數學知識的歷史進入課堂的價值認可度很高，但在實際教學中使用率卻很低的現狀，即所謂的“高評價，低應用”。鑒于此，需要在數學史融入小學數學課堂的途徑和方法方面作一些探討。

綜合國內外學者的觀點，數學知識的歷史進入課堂，大體可分為從歷史到教學和從教學到歷史兩種模式。從歷史到教學，即從閱讀歷史資料出發，思考其和數學教學的關系，反思是否可以為教學所用，若有聯系可以運用的話，則進一步查閱歷史文獻，設計適合教學應用的形式應用到教學中，教學結束后反思教學效果并進行進一步修改和改進。從教學到歷史，即從分析數學課堂教學目標出發，根據目標設計教學計劃，根據課堂教學活動去查找與之相關的歷史文本，將歷史文本中相應的材料進行合理的“再創造”后，運用到課堂教學，教學結束后反思教學效果并進行進一步修改和改進。

三、結語

數學史不僅僅是單純的數學成就的編年記錄，數學史是研究數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展，及其與社會政治、經濟和一般文化聯系的一門學科。而現行的數學教材既不是按歷史發展來講，也不是按難易程度來講，而是所謂的“教育數學”，是為了讓學生“更容易”接受數學知識而特意編寫的。因此，一個數學概念在歷史上是如何產生的？一個數學定理或公式是如何發現的？一個數學分支是如何起源的？對這一系列問題，教材的編者、授課教師都很少關注。這樣以來數學成了一門枯燥、呆板的學科，影響了學生對數學的學習和理解。在數學教育中融入數學史的教學中“通過生動豐富的事例，了解數學發展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果，初步了解數學產生和發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神。”以達到幫助學生通過學習數學，養成良好的學習習慣，認識數學的科學意義、文化內涵，理解和欣賞數學的美學價值。即使今后他們不從事數學教育或數學研究工作，可是正確數學觀，以及對數學真切感受，會使他們受益終身的。

參考文獻：

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中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）06-0071

一、數學概念的特點和學習意義

數學概念是反映一類對象本質屬性的思維形式，它具有相對獨立性。概念反映的是一類對象的本質屬性，即這類對象的內在的、固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對象是現實世界的數量關系和空間形式，它們已被舍去了具體物質屬性和具體的關系，僅被抽取出量的關系和形式構造。在某種程度上表現為對原始對象具體內容的相對獨立性。

數學概念又具有抽象與具體的雙重性。數學概念既然代表了一類對象的本質屬性，那么它是抽象的。以“矩形”概念為例，現實世界中沒見過抽象的矩形，而只能見到形形的具體的矩形。從這個意義上說，數學概念“脫離”了現實。由于數學中使用了形式化、符號化的語言，使數學概念離現實更遠，即抽象程度更高。但同時，正因為抽象程度愈高，與現實的原始對象聯系愈弱，才使數學概念應用愈廣泛。但不管怎么抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內容。且數學概念是數學命題、數學推理的基礎部分，就整個數學體系而言，概念是一個實在的東西。所以，它既是抽象的又是具體的。

數學概念還具有邏輯聯系性。數學中大多數概念都是在原始概念（原名）的基礎上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語言或符號的形式使之固定。其他學科均沒有數學中諸概念那樣具有如此精確的內涵和如此豐富、嚴謹的邏輯聯系。

數學概念教學是中學數學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念是學好數學最重要的一環。一些學生數學之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別像筆者所在學校這樣的普通中學的學生，數學素養差的關鍵是在對數學概念的理解、應用和轉化等方面的差異。因此，抓好概念教學是提高中學數學教學質量的帶有根本性意義的一環。

從平常數學概念的教學實際來看，學生往往會出現兩種傾向，其一是有的學生認為基本概念單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊；其二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機械的、零碎的認識。久而久之，嚴重影響對數學基礎知識和基本技能的掌握和應用。比如有的學生認為是奇函數，有的學生在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的學生認為函數與直線有兩個交點，這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的。只有真正掌握了數學中的基本概念，我們才能把握數學的知識系統，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象。從一定意義上說，數學水平的高低，取決于對數學概念掌握的程度。

二、數學概念的教學形式

1. 注重概念的本源、概念產生的基礎，體驗數學概念形成過程

每一個概念的產生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念是傳統教學模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學生感到茫然，丟掉了培養學生概括能力的極好機會。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規定性，傳統教學中往往比較重視培養思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主讓學生“占有”新概念，置學生于被動地位，使思維呈現依賴性，這不利于創新型人才的培養。“學習最好的途徑是自己去發現”。學生如能在教師創設的情景中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現、創新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養他們的創造精神。由于概念教學在整個數學教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在數學概念教學中培養學生的創造性思維。引入是概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想象，讓學生經歷數學家發現新概念的最初階段。牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”猜想作為數學想象表現形式的最高層次，屬于創造性想象，是推動數學發展的強大動力。因此，在概念引入時培養學生敢于猜想的習慣，是形成數學直覺，發展數學思維，獲得數學發現的基本素質，也是培養創造性思維的重要因素。

比如，在立體幾何中異面直線距離的概念，傳統的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學可以先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什么特點，發現共同的特點是最短與垂直。然后，啟發學生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什么特征？于是經過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，并通過實物模型演示確認這樣的線段存在，在此基礎上，自然地給出異面直線距離的概念。這樣做，不僅使學生得到了概括能力的訓練，還嘗到了數學發現的滋味，認識到距離這個概念的本質屬性。

2. 挖掘概念的內涵與外延，理解概念

新概念的引入，是對已有概念的繼承、發展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數的定義，經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義；（2）用點的坐標表示的銳角三角函數的定義；（3）任意角的三角函數的定義。可見，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重，是整個三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用。“磨刀不誤砍柴工”，重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，有利于學生理解概念。

3. 尋找新舊概念之間聯系，掌握概念

數學中有許多概念都有著密切的聯系，如平行線段與平行向量，平面角與空間角，方程與不等式，映射與函數等，在教學中應善于尋找，分析其聯系與區別，有利于學生掌握概念的本質。再如，函數概念有兩種定義：一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發，其中的對應關系是將自變量的每一個取值，與唯一確定的函數值對應起來；另一種高中給出的定義，是從集合、對應的觀點出發，其中的對應關系是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，函數可用圖像、表格、公式等表示，所以高中用集合與對應的語言來刻畫函數，抓住了函數的本質屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應關系本質也一樣，只不過敘述的出發點不同，所以兩種函數的定義，本質是一致的。當然，對于函數概念真正的認識和理解是不容易的，要經歷多次接觸的、較長的過程。

4. 運用數學概念解決問題，鞏固概念