序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學除與除以的區別范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

1.通過兩位數除以一位數的口算、筆算以及驗算方法的復習，溝通不同的兩位數除以一位數知識間的聯系，增強學生的理解能力，進一步提高計算的正確率和熟練程度。

2.引導學生應用所學的計算知識和方法解決一些實際問題，增強數學應用意識，提高解決實際問題的能力，感受所學知識的應用價值。

3.在練習中培養學生的反思、概括能力與積極參與學習的情趣，養成自覺驗算的習慣。

教學重點：熟練掌握兩位數除以一位數的口算、筆算和驗算方法。

教學過程：

一、回顧舊知，歸納深化

1.復習兩位數除以一位數的口算。

（1）請每個小朋友回顧一下除數是一位數的除法你學會了哪些知識？（隨著學生回答，教師板書：口算、筆算、驗算、估算……）

（2）板書并提問：36÷3，你會口算嗎？怎么想的？

（可以這樣想：30÷3＝（?。?，6÷3＝（　）?。ā。?（　）＝（?。?/p>

（3）口算，看誰算得又對又快。30÷3　60÷2　16÷4　210÷7

（4）請小朋友同桌相互交流在口算時有什么發現？又有什么收獲？

（5）全班交流。（強調口算前要看清運算符號和數字。）

（6）歸納總結：讓學生說說乘、除法的口算方法有什么聯系，加、減法的口算方法又有什么聯系，以促進學生形成合理的認知結構。

（設計說明：通過學生自己回顧、總結，不僅調動了學生參與學習活動的積極性，而且培養了善于思考的習慣。通過學生與學生的交流互動，鞏固了兩位數除以一位數的口算方法?？谒憔毩曂瓿珊螅俅我龑W生思考，對培養學生先審題再計算的良好習慣有很大幫助。）

2.復習兩位數除以一位數的筆算和驗算。

（1）全班交流，兩位數除以一位數筆算方法和經驗。

（2）用學過的筆算方法計算下面各題。

64÷2　52÷4　55÷4　42÷4

（3）指名學生板演。

（4）小組討論上述4道題的聯系和區別分類。

（5）學生交流。（按首位能否被整除分，64÷2和42÷4為一組，52÷4　55÷4為一組。按是否有余數分，64÷2　52÷4為一組，55÷4　42÷4為一組。）

（6）提問：怎樣才能知道做得對不對呢？（驗算）

（7）分別說說沒有余數的除法及有余數的除法的計算與驗算方法。

（8）選擇其中兩題讓學生驗算。

（9）歸納總結：兩位數除以一位數中的幾種情況，主要區別在于首位能否被整除，首位能整除，除完首位再除個位；首位不能整除。把十位余下的數和個位上的數組成新的數繼續除。但要注意的是，當首位除完，個位不夠商1時，要在個位上補0占位。算完后，用驗算的方法檢驗自己做得對不對。

設計說明：復習課不僅要回顧、鞏固已學知識，還要對相關知識進行聯系、溝通，使知識點形成體系，逐漸完善認知結構。在筆算后，根據題目之間的聯系和區別，小組討論進行分類，讓學生對除法的內在聯系有更深的感悟。充分調動學生積極性，形成一個學習成果共同分享、共同進步的局面。從筆算方法的回顧到討論分類，歸納總結，讓學生獨立思考，合作交流，學會學習。

二、練習應用，發展提高

復法的口算、筆算和驗算后，要引導學生應用這些知識來解決相關的問題，層次分明的練習又是使每個學生都得到發展的重要手段。

1.填一填。

（1）從84里連續減去（?。﹤€4，正好減完。

（2）55是5的（?。?，55的5倍是（　），55是（　）的5倍。

（3）一個數除以7，商是5，余數最大，這個數是（

）。

（4）63里面有（?。﹤€7，51里面最多有（?。﹤€5。

（5）÷9＝8……，最大是（?。?，最大是（　）。

2.估一估。下面各題的商是幾十多。

84÷4　75÷3　91÷7　68÷2　92÷5　98÷3

3.找一找，說說錯在哪里，再改正過來。（設計說明：復習課最大的特點就是注重知識的歸納、整理與構建，體現對知識的擴展、延伸。所以，必要的練習對于學生鞏固相關知識，形成計算技能是不可或缺的。在回顧、比較、歸納的基礎上，設計多層次的適量的練習，意在通過練習鞏固所學知識，深化學生的認識，拓寬學生的視野，同時強化學生綜合應用知識的能力。在練習設計中，我既注意用好教材資料，讓學生打牢基礎，又注重了學生思維能力的發展。）

三、總結提升，激勵評價

篇（2）

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的?！毙W數學中有許多內容既有聯系又有區別，在教學中充分運用比較的方法，有助于突出教學重點，突破教學難點，使學生容易接受新知識，防止知識的混淆，提高辨別能力，從而扎實地掌握數學知識，發展邏輯思維能力。

一、運用比較法，訓練形象思維，豐富感知

小學生由于生活接觸面窄，社會實踐經驗少，感性知識比較貧乏，空間想象力差，采用比較的方法進行教學，可使學生對感性知識獲得較深刻的印象。如在教學毫米和分米的認識（人教版小學數學第五冊）時，因為學生已經認識了“1厘米”，為了使學生對“1毫米、1分米”有比較正確的認識，可以讓學生拿著尺子，對著“1毫米”和“1厘米”的刻度進行比較，再拿“1分米”和“1厘米”比較，然后讓學生用手勢表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的長度，最后讓學生填空：課桌寬大約是60（ ），一塊橡皮的長大約是30（ ），數學教本的長度大約是2（ ）。通過這樣的比較，學生對這些長度單位就有了比較深刻的印象。同樣，用比較的方法教學面積單位、體積單位，也會取得很好的教學效果。

二、運用比較法，理解內涵，掌握概念

為了使學生正確地理解和掌握概念，就要揭示概念的本質屬性，充分理解其內涵，而對事物進行比較是揭示概念本質屬性和理解內涵的重要學習方法。如教學“整除”這個概念時，讓學生對一些除法算式進行比較，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道單有“商是整數而沒有余數”這個條件，還不能判斷一個數能被另一個數整除，還必須有“被除數和除數都是整數”這個條件才行。通過比較，學生正確地理解了整除的含義。再如教學“求比值”和“化簡比”，要從意義、方法和結果三方面進行比較，“求比值”也就是求商，而“化簡比”是把一個比較復雜的比化成一個最簡單的整數比；“求比值”和“化簡比”的方法可以通用，都可以用除法計算；“求比值”和“化簡比”的結果是不同的，“求比值”的結果是一個“數”，可以寫成分數、小數，有時能寫成整數，而“化簡比”的結果則是一個“比”，可以寫成真分數或假分數的形式，但是不能寫成帶分數、小數或整數。比較以后，學生才能充分理解“求比值”和“化簡比”的內涵。

三、運用比較法，新舊知識聯系，形成知識網絡

在教學一個新知識點時，如果能與以往學過的舊知識相聯系，進行比較，弄清新舊知識的聯系與區別，不但容易學會新知，還鞏固了舊知，并且使知識系統化，形成知識網絡。如教學“比的意義”時，將“比”“除法”和“分數”進行比較，可列表如下：

通過這樣比較，使學生明確比和除法、分數的關系和區別，把比、除法、分數聯系起來，形成知識網，為后面學習“比”的應用打下基礎。

四、運用比較法，區別應用題的結構，正確選擇解法

在應用題的教學中，經常應用比較的方法來區別應用題的結構，以便分析數量關系，選擇正確的解題方法。如低年級的加減法應用題、乘除法應用題、高年級的分數乘除法應用題。如教學應用題：（1）池塘里有12只鴨和4只鵝，鵝的只數是鴨的幾分之幾？（2）池塘里有12只鴨，鵝的只數是鴨的，池塘里有多少只鵝？（3）池塘里有4只鵝，正好是鴨的只數的，池塘里有多少只鴨？通過比較，學生知道了應用題在結構上的相同點和不同點，使他們懂得第（1）題，根據分數的意義和分數與除法的關系，要用除法來計算。第（2）題，根據一個數乘分數的意義，用乘法計算。第（3）題，根據一個數乘分數的意義，列方程解答，或根據除法的意義直接用除法計算。通過比較，使學生了解了分數乘除法應用題的結構和思路的異同，從而能正確解答分數乘除法應用題。

五、對比練習，異同結合

學習新課之后，不僅要集中練習所學的內容，還要練以前學過的內容，特別要練習與新學內容相似而容易混淆的題目，使學生既能深刻理解新的知識，又能掌握新舊知識之間的“同”和“異”，區別應用。如練習“歸一應用題”，應帶練“歸總應用題”；學完“連除應用題”后的練習，也應有“連乘應用題”的題目。通過比較它們的解題思路，明確它們之間的相互聯系，可使各個零碎的知識串成線、聯成網，從而構建起完整的知識結構。這樣的對比練習也便于學生辨別和鞏固所學的數學知識，培養學生分析問題、靈活運用知識解決實際問題的能力。

六、運用比較法，觀察特征，發現規律

篇（3）

教師出示“整理與復習”中的第2題。

147÷20= 312÷50= 720÷70=

147÷21= 312÷53= 720÷72=

147÷29= 312÷58= 720÷68=

師：請同學們觀察一下這些題目，有什么共同特點？

生：都是三位數除以兩位數。

師：你們會算嗎？請大家先算一算第一組的三道題。

學生計算后，集體校驗每道題的結果。教師統計全班學生的練習情況，剖析練習中的錯誤，并板書：

①147÷20=7……7

②147÷21=7

③147÷29=5……2

師：第一組題中，你可以幫這三道題分分類嗎？

小組同學之間相互討論、反饋。

生：我想把第①②題歸為一類，第③題為另一類。

師：你們知道他這樣分類的理由嗎？

生：因為第①②題可以直接試商，而第③題需要調商。

師板書：調商。

生：我想把第①③題歸為一類，第②題另為一類，因為①③兩題都有余數，而第②題沒有余數。

師：沒有余數的除法怎么驗算？有余數的除法呢？請你從中各選一題驗算一下。

學生驗算后，師生共同總結除法的驗算方法。

師：大家觀察得真仔細，那么你還有什么發現嗎？

生：被除數都是147。

生：除數20、21、29，變得越來越大。

生：被除數相同，除數越小，商越大；反之，被除數相同，除數越大，商越小。

師：第①②題的商都是7呢，你又能發現什么呢？

生：被除數相同，如果商一樣，那么余數越大，除數就越小；反之，被除數相同，如果商一樣，那么余數越小，除數就越大。

師：回憶一下，剛才你們是怎樣計算三位數除以兩位數的？

生：筆算三位數除以兩位數的除法時，通常把除數看作與它接近的整十數來試商，計算時從被除數的高位除起，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位上面，除得的余數必須比除數小。

師：那也就是說兩位數可以分成非整十數和整十數兩類，我們還要把非整十數轉化為整十數來試商，這里還滲透了轉化的思想，幫助我們解決了難題。

教師根據學生的小結，順勢板書：非整十數，整十數，轉化。

師：根據同學們剛剛所說的方法，請大家完成第二組的三道題目，比一比誰做得既快又準確。

學生計算后，集體校驗每道題的結果。教師反饋全班練習的情況，并板書：

④312÷50=6……12

⑤312÷53=5……47

⑥312÷58=5……22

師：這一組題，結果都有余數，那你覺得可以怎么分類呢？

生：把④⑥分成一類，⑤分成另一類，因為④⑥試商以后，不需要調商，而⑤試商以后需要調商。

師追問：這組中的⑤312÷53=5……47與第一組中的③147÷29=5……2都需要調商，那它們在調商的時候有什么不同呢？

學生獨立思考。

生：第⑤題是把53看做50，用6試商，發現不夠減，說明商太大了，要調?。欢冖垲}是把29看做30，用4試商，發現余數比除數大，說明商太小了，要調大。

師：調商的規律，我們總結成一句話――看小調小，看大調大。

師板書：看小調小，看大調大。

師：至此，我們一起總結了調商的方法，同學們的概括能力、語言表達能力都不錯。請同學們完成第三組的三道題目，比一比誰做得既快又準確。

學生計算后，集體校驗每道題的結果。教師反饋全班練習的情況，并板書：

⑦720÷70=10……20

⑧720÷72=10

⑨720÷68=10……40

師：你在做這組題的時候，發現與第一組題有什么不同嗎？

生：我發現第⑦題除到被除數的個位時，個位上不夠商1，要用0占位。第⑨題也是這樣。

師：請大家比較一下第一組題和第三組題的商，都是三位數除以兩位數，你又發現了什么？

生：三位數除以兩位數，商可以是一位數，也可以是兩位數。

師：為什么第一組的商是一位數？而第三組的商是兩位數呢？

生：先看被除數的前兩位，第一組，被除數前兩位比除數小，就要看前三位，商寫在個位上，所以第一組的商是一位數；而第三組，被除數前兩位等于除數或大于除數，所以第三組的商寫在十位上，是兩位數。

師：總結得太好了。通過這三組題，我們總結出了整數除法的計算法則――先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要用0占位。我們還學會了三位數除以兩位數的調商的方法――看小調小，看大調大。

師板書：商是一位數，商是兩位數。

板書：

【課后分析】

第一，教材為什么要編制這一題組？

筆者認為備課時有必要對教材進行深入解讀與分析。這一單元主要目標是讓學生經歷探索三位數除以兩位數算法的過程，會筆算三位數除以兩位數。在“整理與復習”中安排這一題組，除了變化形式為學生提供筆算三位數除以兩位數的機會外，還有更重要的目的：通過思考，把握題目之間的聯系和區別，主動發現計算規律，在更高層次上理解算法、運用算法，發展數學思考能力。從上述教學過程中，看出了執教者如何體現“引導學生在計算過程中積極思考”。

第二，學生的認知Y構是否得到必要完善？

篇（4）

要弄清錯誤資源的有效利用首先得知道什么是課堂教學中的錯誤資源，建構主義認為：教學是學生根據自己已有的知識和經驗去認識事物的過程，從未知到已知這一深化過程中，學生的思維水平和方式決定了他們會犯錯，必然會出現一定的片面認識或認知偏離，這就是課堂中學生產生的錯誤資源。對這種錯誤資源，教師不能簡單的一口否定學生的觀點，而應該形成正確的理解態度，善于發現這種錯誤資源中的積極因素，有效幫助學生糾錯，采取“對癥下藥”的教學策略，實現教學效果的最優化。

二、錯誤現象產生的原因

1.學生認知水平的限制

雖然小學數學具有較強的邏輯性，但數學知識與語文學科有很大的聯系，它是通過文字讓學生去理解題意，在一定程度上，小學生對文字的理解能力受限，數學學習常常出現因文字理解錯誤而造成錯誤的決斷。比如“除”和“除以”兩者的區別，雖然都是一個意思，但是動作的對象就不一樣，“D除C”和“D除以C”，前者表示C是被除數，后者表示D是被除數，小學生常常分不清兩者之間的區別。

2.后攝制抑制和前攝制抑制的相互干擾

前后攝制抑制的干擾就是我們所說的新舊知識的相互影響，前攝制抑制指學生在學習前面的知識對后面學習的知識產生影響，同樣，后面知識的學習也會出現相同的影響。尤其是在學習乘法的各種規律時，容易受到之前的加法各種規律的影響，比如（4+2）×25時，某些學生會受到乘法結合律的影響，將括號直接去掉做成4+2×25；而在算（4×2）×25時，又會受到分配率的影響，做成（4×25）+（2×25）。

三、小學數學如何有效利用錯誤資源

小學數學課堂教學中的錯誤資源利用，關鍵在于教師，主要從以下幾方面做起。

1.轉變觀念，正確對待“錯誤”

課堂教學是師生相互交流溝通的過程，對待學生所犯的錯誤不能打罵，甚至是侮辱學生人格，說學生“笨”，重要的是讓學生在改正錯誤的過程中不斷得到進步，所以教師的引導非常關鍵。教師要鼓勵學生敢于暴露自己的錯誤思維，允許學生犯錯，因為教師自身也會犯錯，包容學生的錯誤。對于自己的錯誤要有正確的認識，而不是一味地自我否定，教師要幫助學生尋找產生錯誤的根源，帶領學生走出錯誤區，并在這一過程中幫助學生獲得自信心，讓課堂教學變得活躍有趣。比如，針對上面所說的乘法規律（4+2）×25，學生直接去掉括號后計算得出錯誤的結果，教師應該對做錯的學生進行提問，了解他們做成4+2×25的想法并順勢引導這兩者的區別，前面表示的結果是“積”，后面表示的結果是“和”，從而幫助學生正確認識兩者的區別。

2.培養學生發現錯誤的意識

培養學生發現錯誤的意識目的在于防患錯誤于未然，教師要根據自己已有的教學經驗，針對性地對學生進行啟發，對容易犯但沒有暴露出來的錯誤進行呈現，讓學生自己去找錯誤，糾正錯誤，培養學生的主動性。比如，在考查學生對題意的理解時，讓學生對“圓周長的一半和一個半圓的周長相等”進行判斷，學生往往被題中文字所迷惑而覺得是相等的。此時，教師可以通過多媒體展示圖形，讓學生理解半圓是多出了一條直徑，兩者之間實則不等，半圓周長大于圓周長的一半。

篇（5）

數學問題浩如煙海，面對一個個數學問題如何著手求解?有些學生做了大量的題目，但考試遇到新題型或只是稍稍變換一下，就不知所措，原因是在平時的學習中，缺乏掌握數學思考方法。掌握一種新的思考方法要比學會解幾道具體習題更為重要，這些解題方法和技巧是進一步學習數學不可缺少的工具，數學方法的學習，在數學學習中起到事半功倍的效果，本文就數學類比和對比法在初中教學中的具體應用進行闡述。

類比是根據兩個對象有一部分性質類似，推出與這兩個對象的其他性質相類似的一種推理方法。因此，類比是從特殊到特殊的推理。通過類比，可以發現新舊知識的相同點，利用已有的舊知識，來認識新知識。

對比是通過比較，找出一事物區別其他事物的特點，通過對比可以找出差異，有助于進一步加深對新知識的理解。

類比和對比這兩種方法是相輔相成的，都是通過新舊知識的相互聯系，利用已有的舊知識，揭示新知識的本質。

例如：在學習分式這章時，關鍵是要用與分數類比的方法導出分式概念，分式基本性質與分式的四則運算法則，這樣新知識易為學生接受與掌握，具體操作如下：

首先，復習小學學過的分數概念：兩數相除，可以表示成分數的形式.如3÷4=,(-7)÷2=-,5÷(-9)=

，一個分數由分子、分母和分數線構成，分子、分母都是數，但分母不能是零，為什么分母不能為零呢?因為零不能做除數，分數有正分數、負分數，如果分子等于零，只要分母不是零(不論是正數還是負數)，這個分數的值就是零。把分數的概念引伸到代數式來，如

這兩個式子有什么特點?(1)分式由分子、分母與分數線構成；(2)分母中含有字母，這就是分式，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著，指出分數與分式的區別所在：分數與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在講分式的基本性質時，先復習分數的基本性質，推想分式的基本性質，我們來看如何做不同分母的分數的加法：；，這里先將異分母化為同分母，，這是根據什么呢?根據分數的基本性質：分數的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的數，分數的值不變，分式是一般化了的分數，因此，分式應該有，這里，A、B、M是整式，根據分式的概念應該要求B0，由分數的基本性質應該想到M0。因此，分式的基本性質是分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。

第三，分式的四則運算順序也可以類比分數進行，先做括號內的運算，然后再進行乘除運算，最后進行加減運算，這個順序和步驟正是分式四則混合運算的順序和步驟。概括地說是：“先乘除，后加減、括號內先進行”。

在幾何教學中，在講解相似三角形判定定理可類比全等三角形得到，全等形與相似形的關系：全等三角形是相似三角形，當相似比值K＝l時的特例，全等與相似條件的比較：

(1)兩角相等----兩三角形相似

兩角相等，夾邊相等----兩三角形全等；

(2)兩邊成比例、夾角相等----兩三角形相似

兩邊相等，夾角相等----兩三角形全等；

篇（6）

中考數學復習提綱數學中考復習提綱(實數與數軸)

1、數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。

原點、正方向、單位長度是數軸的三要素。

2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一個實數都可以用數軸上的唯一的點來表示。

實數和數軸上的點是一一對應的關系。二、實數大小的比較

1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

2、正數大于0;

負數小于0;正數大于一切負數;兩個負數絕對值大的反而小。 三、實數的運算 1、加法：

(1)同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加;

(2)異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?？墒褂眉臃ń粨Q律、結合律。2、減法：減去一個數等于加上這個數的相反數。

3、乘法：(1)兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

(2)n個實數相乘，有一個因數為0，積就為0;若n個非0的實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正;當負因數為奇數個時，積為負。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 (2)除以一個數等于乘以這個數的倒數。(3)0除以任何數都等于0，0不能做被除數。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。

無論何種運算，都要注意先定符號后運算。

數學中考復習提綱(有效數字和科學記數法)

1、科學記數法：設N>0，則N= a×10(其中1≤a

2、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數，到精確到的數位為止，所有的數字，叫做這個數的有效數字。

精確度的形式有兩種：(1)精確到那一位;(2)保留幾個有效數字。

數學中考復習提綱(分式方程)

(1)分式方程的解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。特殊方法：換元法。

(2)檢驗方法：一般把求得的未知數的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程的根;使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數的值代入原方程檢驗。四、方程組

1、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：?a1x?b1y?c1(a1,a2,b1,b2,c1,c2不全為0) 解法：代入消遠法和加減消元法a2x?b2y?c2

解的個數：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數的解。 一、一元二次方程的解法 1、(1)用直接開方法解;(2)用公式法;(3)用因式分解法2、(1);先化為一般形式，再用公式法解;(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 二、分式方程的解法：分析：(1)用去分母的方法;(2)用換元法 解：略三、根的判別式及根與系數的關系 四、方程組 1分析：(1)用加減消元法消x較簡單;(2)應該先用加減消元法消去y，變成二元一次方程組，較易求解。[規律總結]加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數的系數最簡單就先消那個未知數。 1.在解方程2A.2xC.2x

2分析：(1)可用代入消遠法，也可用根與系數的關系來求解;(2)要先把第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。[規律總結]對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程組成兩個方程組來求解。

一、列方程(組)解應用題的一般步驟

1、審題：2、設未知數;3、找出相等關系，列方程(組);4、解方程(組);5、檢驗，作答;

數學中考復習提綱(列方程(組)解應用題常見類型題及其等量關系)

1、工程問題

(1)基本工作量的關系：工作量=工作效率×工作時間

(2)常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

(3)注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題 2、行程問題

(1)基本量之間的關系：路程=速度×時間 (2)常見等量關系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及問題(設甲速度快)：

同時不同地：甲的時間=乙的時間;甲走的路程–乙走的路程=原來甲、乙相距路程 同地不同時：甲的時間=乙的時間–時間差;甲的路程=乙的路程3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度; 逆流速度=船在靜水中的速度–水流速度 4、增長率問題：

常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量;增長的量=原來的量×(1+增長率); 5、數字問題：

基本量之間的關系：三位數=個位上的數+十位上的數×10+百位上的數×100

數學中考復習提綱(不等式及不等式組)

一、不等式與不等式的性質

1、不等式的性質：

(l)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數，不等號方向不改變，如a> b， c為實數?a+c>b+c

(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號方向不變，如a>b， c>0?ac>bc。(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號方向改變，如a>b，c

1、能使一個不等式(組)成立的未知數的一個值叫做這個不等式(組)的一個解。

不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式(組)的解集的過程叫做解不等式(組)。

三、不等式(組)的類型及解法 1、一元一次不等式：

(l)解法：

與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊同乘以(或除以)一個負數時，不等號方向要改變。 2、一元一次不等式組：

(l)概念：含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。注：求不等式組的解集一般借助數軸求解較方便。

數學中考復習提綱(圖形與變換)

知識要點

1.軸對稱(軸對稱、折疊)

(1) 軸對稱和軸對稱圖形的區別與聯系

區別：軸對稱是指兩個圖形間的位置關系;軸對稱圖形是指一個具有特殊形狀的圖形。 聯系：

(a) 它們都延某一直線折疊,圖形重合

(b) 如果把兩個軸對稱圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形;反過來,把軸對稱圖形的兩部分當作兩個圖形,那

么這兩個圖形成軸對稱。

(2) 線段的垂直平分線及其性質

性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等

與一條線段的兩個端點舉例相等的點在這條線段的垂直平分線上。 (3) 軸對稱的性質：

(a) 如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應點連線的線段垂直平分線; (b)軸對稱圖形的對稱軸是任意一對對應點連線的線段垂直平分線; (c) 軸對稱的兩個圖形全等

(d) 軸對稱的兩個圖形，他們對應線段或其延長線相交，交點在對稱軸上。

(4) 軸對稱變換

考點：利用坐標表示軸對稱(做關于坐標軸及原點的對稱點)解析：點(x，y)關于x軸對稱的點的坐標為(x，-y);關于y軸對稱的點的坐標為(-x，y)，關于原點對稱的點的坐標為(-x，-y)歸納：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱全改變

(5) 軸對稱的圖形：等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，拋物線，雙曲線，圓 2.中心對稱(中心對稱、旋轉) (1)中心對稱及中心對稱圖形

(a)關于中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線經過對稱中心，而且被對稱中心平分; (b)關于中心對稱的兩個圖形全等。

(2) 中心對稱圖形：線段、相交線、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓 (3) 中心對稱與軸對稱的區別聯系

(a) 區別：關于直線對稱和關于點對稱 (b) 聯系：都是旋轉180°得到的 (4) 圖形的旋轉

(a) 圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫旋轉，點O叫旋轉中心，轉動的角叫旋轉角。

(b) 圖形在旋轉有旋轉中心和旋轉角決定，旋轉中心在旋轉過程中式不動的，旋轉不改變圖形的大小和形狀。 (c)特征：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前后的圖形全等。 (d) 旋轉作圖步驟

(i) 根據題意確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角 (ii) 找出圖形的關鍵點 (iii)連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到這些關鍵點的 對應點; (iv) 次連接這些關鍵點的對應點，得到旋轉后的圖形。 3.位似

4.投影與視圖

投影 (1)投影：用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影：有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影(3)中心投影：由同一點(點光源發出的光線)形成的投影叫做中心投影(4)正投影：投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影。

數學中考復習提綱(三視圖)

(1)三視圖：是指觀測者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。

將人的視線規定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所見物體的輪廓用正投影法繪制出來該圖形稱為視圖。一個物體有六個視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖——能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物體的左面形狀，三視圖就是主視

中考數學復習建議認真學習，研究教材，研究考試，把握老師教學的要求，了解老師教學中的重點和學生學習中的難點，提高自身的業務素養。另外也要根據當前教改的要求、學生的實際，研究老師教學方法，達到提高老師教學效率的目的。

篇（7）

為了吸引顧客，超市準備用“2盒牛奶，3盒酸奶”組合，制成禮盒再銷售，最多可以制成多少禮盒？

商品名稱 數量

牛奶 18盒

酸奶 24盒

在解題過程中，相當一部分學生由于對“組合”的意思沒有理解清楚，最終得出錯誤的答案9（18÷2=9）。事實上生活中這種組合搭配的案例數不勝數，如按不 同的人數比例組成調查小組，玩具裝配過程中各零配件的使用數量等等。如果學生對“組合”之意不求甚解，則會曲解題意。

案例二：

計算：從1500里減去40個35，再除2.5，得多少？

錯誤列式（1500-35×40）÷2.5

正確列式：

2.5÷（1500-35×40）

=2.5÷100

=0.025

產生列式錯誤的主要原因是學生沒有抓住題目中的關鍵詞，如 “除以”與“除”的區別，沒有弄清題目中的和、差、積、商的隸屬關系。因此，正確解答文字題與語文的閱讀能力關系很大。

案例三：

勝利機械廠1995年的產值是65萬元，1997年的產值比1995年增長了3倍。1997 年的產值是多少萬元？

錯解：

65×3=195（萬元）。

答：1997 年的產值是 195 萬元。

正解：

65+65×3

=65+195

=260（萬元）。

或者 65×（3+1）

=65×4

=260（萬元）。

答：1997 年的產值是 260 萬元。

分析學生錯解的原因是學生對“倍數”關系理解不清而造成的把 “增長了3倍”與“求一個數的3倍是多少”等同起來，不知道1997年的產值比1995年增長3倍以后，是1995年產值的4倍，因此產生了錯誤。

通過對以上案例的認真分析與研究，我們不難發現學生雖然計算過程無誤，但是解題思路出現了偏差，看似一字之差（如“除”和“除以”）結果卻大相徑庭。這當然不能簡單地歸結為學生的“馬虎”，而應追根溯源，挖掘其深層原因。小學生由于其生活閱歷較淺，對于數學習題中的文字信息在理解上較為膚淺，再加上對一些數學概念認知模糊，最終會導致其審題不清，得出錯誤的答案。因此，數學教師在加強學生運算能力培養的同時更要注重學生文本閱讀能力的培養。

眾所周知，文本是學生接觸數學知識，理解數學內容，應用數學解題的基本形式，文本內容的豐富性和特定的內涵性使數學知識變得“抽象”和“多變”起來，因此，提高學生數學文本認知與閱讀能力是當前課改的新課題。

1.從教材閱讀中提升理解能力

重視閱讀數學課本，按課本原文逐字逐句，逐節閱讀。在閱讀中讓學生反復琢磨，認真思考教材中的敘述或旁注的概念、定理、思考方法、操作方法、問題與要求。如在閱讀分數的基本性質時，“分數的分子和分母都乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變”，性質中有本質特征的關鍵詞句要仔細品味，深刻理解其語意，并不時提出一些反問，如：換成其他詞語行嗎？省略某某字行嗎？加上某某字行嗎？等等。要讀出書中的要點、難點和疑點，讀出字里行間蘊藏的內容，讀出從課文中提煉的數學思想，觀點和方法。

2.從習題閱讀中拓展知識外延

習題是數學課堂訓練的基本形式，也是學生鞏固和消化所學知識并轉化為技能的重要環節，其重要性不言而喻。習題不僅能夠讓學生熟悉更多的題型，還能拓展知識外延，讓學生有更多機會了解數學在生活、在現實中的作用和價值。例如，教師在講解四舍五入知識點時，什么時候該“舍”，什么時候該“入”需視情景而定，如貨物裝箱問題，即使是剩余了四或比四小，也是不能“舍”的，因為現實生活中我們總不能把貨物丟棄。

3.從數學實踐中提升理解能力

篇（8）

一、問題的提出

我們知道，判別一個數是否是3的倍數（或能否被3整除），一般按現行教材上所說（包括人教版等其它各版本在內）即：如果一個數（筆者注：本文中所涉及的“數”均指非零自然數）各位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。表面上看這是將問題化簡，再以簡單的判斷去推斷原數是否是3的倍數的結論。實際上，嚴格地說這是個循環定義。試想：學生在此之前，并未學過“判斷3的倍數”的概念，憑借什么去判斷“和是3的倍怠保進而去實行新的推斷呢？好在學生已學過數的整除的意義，學生最后還是歸結為將“各位上數的和”除以3再去判斷?？梢姡@與將原數直接除以3沒有什么本質的區別。只不過一個復雜，一個簡單，以簡馭繁而已。

但我們注意到，現行教材中相關課題，涉及提到的都是“特征”二字?！疤卣鳌笨勺鳛槭挛铼毺氐胤剿哂械恼飨?、標志，一般乃事物的外部表現。教材在這之前講到的2、5倍數數的特征，因其直觀表現，比較準確。因為能被2、5整除的數，可以從該數外表上“看”出來。例如：個位上是0、2、4、6、8的整數，都是2的倍數；個位上是0或5的整數，都是5的倍數。那么3的倍數的特征在哪呢？所以這里所學的大部分情況的“特征”，實質是它的“特點”而已。筆者也注意到有的專家行文中提到“特點”，這或許就是當前有人提倡改變說法的原因所在吧。

表述的細微變化，恰恰讓我們感觸思考：本課例是否另外有一種教學的途徑呢？有沒有可以改進的方法呢？或者更直接提出現在的問題：我們能否找到3的倍數，它所具有的內部更直接的“具像”特征，哪怕是一種弱式的表現？甚至更為大膽的設想，今后的教材可否作相應的改進呢。

二、“疊加”的教學探求

我們說答案是肯定的。如何引導學生來探討，我們作了一番思考，那就是進行“疊加”計算，再根據“疊加”出的結果進行直接的判斷。為了更好的達到教學效果，可這樣設計進行：

第一層次，探求關聯。出示4張卡片，分別寫上數字如：2、7、5、1，排出一個四位數后，例如是2751，再讓學生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍數；接著任意調換位置，再讓學生除以3，仍能被3整除，是3的倍數……為了更全面地說明問題，將其中的一個數加上1或減去1，如將上述的2751，其中的2改為3，排列得3751，將此數除以3，發現不能被3整除，不是3的倍數；再任意調換幾個數的位置得到的數除以3，發現總不能被3整除，亦即總不是3的倍數。引導學生得出：一個數是否是3的倍數，與它各位上的數的大小有關但與其位置無關！

這樣安排連續遞進的數學活動，與原有教材探求方向保持一致。

第二層次，定向分類。師可出示先計算再作分類的題目，如先將下列各數分別除以3，然后分成兩組：

15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，

第一組：能被3整除的數有（ ）。

第二組：不能被3整除的數有（ ）。

“整除”的概念學生早已學過，而判斷有待學習，所以必須先讓學生具體計算進行。有意設置此項活動，讓學生經歷探求過程。

第三層次，指導“疊加”。對于剛才分類的兩種數，讓學生分別把各位上的數相加求和；若和仍是多位數，再去相加，一直加到和是一位數（數學術語叫“數字根”）為止。我們把這個過程叫做“疊加”。如724352，第一次將各位上的數相加得7+2+4+3+5+2=23；23是個兩位數，再進行類似加法得2+3=5；5是一位數，結束。

第四層次，引導發現?！隘B加”過程結束后，師及時讓學生說說將某個數進行“疊加”所得的結果。引導同位同學進行對比去發現：能被3整除的數，“疊加”的結果是3、6或9；而不能被3整除的數，“疊加”的結果是1、2、4、5、7或8。這時針對小學生的特點，我們和一般現行教科書一樣，采用不完全歸納法，讓學生自己發現并初步總結規律，即：一個整數，如果“疊加”的最后結果是3、6或9，則這個數一定是3的倍數；如果“疊加”的最后結果不是3、6或9，則這個數一定不是3的倍數。

第五層次，驗證結論（多項活動方式進行，略）。

三、“疊加”判斷的教學價值

以上所述，“疊加”判斷不失為是一種創新的方法，關鍵是符合“特征”且易于口算進行，既有知識性又有趣味性，學生有興趣也能很好掌握。此外，多年實踐的教材客觀上也提供了這種教法的可能性，“疊加”實際上就是教材上所謂3的倍數的特征（即：一個數各位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數）的反復運用，這如算法語言程序控制上的過程自我調用，亦即“遞歸”。只不過在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罷了。

探求過程中，既培養學生的的應用意識和創新意識，又能讓學生體驗成功的快樂，習得科學的研究方法與態度。同時，對于解決問題而言，也更具有策略性。

我們通過探索提出的“疊加法”，或將為教材的編寫提供參考：既可作為通行的方法，替換原有的課例，列入相應的教學內容，也可以一種補充方式作為擴展內容。

【參考文獻】

篇（9）

在小學數學教學工作中，不少小學生對分數除法的實質及運用理解不透，導致數學學習困難，拉大了數學成績的差距。如何通過教學工作讓學生真正理解并掌握分數除法的知識呢？下面，我們就以小學數學分數除法教學工作中常見的分月餅的教學為例，分析設計教學步驟和內容，以期達到最好的教學效果。

一、明確教學內容，目標和重點

分數與除法是小學數學教學中的一個重點，同時也是較難為學生所理解的一個教學難點，這部分內容承接了之前有關分數的意義、分數單位等知識，進一步要求學生了解分數與除法的關系內涵，并能夠根據分數與除法的關系掌握如何計算一個數是另一個數的幾分之幾的實際問題。學生在真正掌握了這部分內容后，能夠進一步了解分數的意義。根據具體教學內容，我們可以確定以下教學目標：（1）引導學生理解并掌握分數與除法的關系，了解一個數除以分數的計算法則，學會用分數表示兩個數相除的商。（2）通過實際教學道具操作，使學生理解3的就是。培養學生的分析、推理能力。教學重點和難點：3的與1的的含義。

二、教學設計及具體難點解析

1.從簡入難地引入問題

利用課件出示一塊餅，提問：把這一個月餅平均分給四個人，每個人能分到多少？引導學生說出每份是四分之一塊，板書出1÷4和，并讓學生重點了解除法算式和分數表示的區別。繼續提問：這里的是把誰看作了那個整體1？小組討論，分析，回答問題。讓大家觀察板書，概括分數與除法的關系，分數的分子相當于除法中的被除數，分母相當于除法中的除數。明白除法是一種運算，分數則是具體的數量。

2.提出進一步的問題

如果把3個月餅平均分成4份，每份是這些月餅的四分之一，每一份是多少塊？提問，板書出算式：3÷4。拿出圓形紙板，以小組為單位，每組四張，讓學生親自剪一剪，再拼到一起看一看，看看結果到底是什么？小組合作、交流，提問：幾種分法，每個人能分多少？學生回答并用紙板演示過程。第一種分法：按照3個月餅，均分4份，每人一份，把每個圓形紙板各分為4等份，然后每個紙板拿其中的一份，三份拼到一起，再與完整的紙板對比，是完整紙板的。第二種分法：把三張圓形紙板疊放到一起，同時剪成4等份，拿出其中重疊的一份，拼到一起，再與完整的紙板對比，占完整紙板的。對兩種方法做出比較，將兩種方法下的紙板拼接好，放到一起進行對比，發現是一樣大的，都是整塊紙板的，也就是說，每人能分到個餅。

3.帶領學生一起歸納總結兩種分法的區別與聯系，概括分數與除法的關系

要讓學生明白，按照兩種不同的分法，3個月餅的就是個餅，而1個月餅的也是個餅，即：3的與1的相等。使學生體會到分數的表示具體數量的含義。

4.課堂內容結束時進行總結，鞏固練習，課后拓展和延伸

利用實際生活中的各種分數和除法問題，帶領學生進行多個具體問題的分析計算。課堂內容結束后，為學生布置適量的課后鞏固練習，并鼓勵大家思考一個數除以分數，如果這個數是分數而不是整數怎樣計算。

三、教學心得體會

從事教學工作的教師要具備足夠的耐心和責任心，認真進行備課及課堂教學。在教學設計時，要盡可能多地增加直觀演示，利用各種教學道具，課件、圖片等直觀地對教學內容進行演示。在進行新知識內容的講解時，要合理地提出疑問，巧妙地進行引導，結束講解時，要及時全面地對所有知識點進行歸納總結，帶領學生梳理知識脈絡。同時，還應努力培養學生發現出問題的意識與能力。學習不單單是對已有知識的熟練掌握，更是發現新問題并努力解決的過程，所以，努力培養學生的創新精神，也是我們日常的教學工作關鍵。例如，在上面的實例中，我們不但要為學生講清楚課本知識的內涵，更要鼓勵大家積極地觀察身邊的實際生活，并進行發散思維，思考學習內容中的新問題。

參考文獻：

篇（10）

構建主義學者認為，教學反饋就是教師根據教學活動中學習對象所產生的反應或結果，進而進行有效運用和實施的教學活動傳遞過程。日常教學活動中，學生完成的作業、測試的試卷、上課的表現以及思維的表述等方面都可以作為教學反饋的有效內容。眾所周知，“掌握了學生學習表現，就等于抓住有效教學的命門”。有效性、高效率的教學活動，每時每刻都在掌握并運用學習對象的教學反饋進行深入、細致、系統的教學活動。如果教師脫離或忽視教學反饋內容的運用，就會陷入到“應試教學”“形而上學”的片面教學“軌跡”中。小學低年級學生在學習數學知識過程中，更容易表現和流露出自身的學習表現，這就為教師有效運用教學反饋提供了有利條件。本人現結合教學實踐體會，對運用教學反饋開展有效課堂教學進行簡要論述。

一、發揮教師主導作用，精心備課，做到教學活動有的放矢

學生作為學習活動的主人，是整個教學活動的關鍵和核心，更是教師實施教學策略的重要對象和依據。小學生，特別是低年級的學生，在生理、心理上具有顯著的特點，既有積極性、穩定性和普遍性的良好一面，又有畏懼性、可變性和特殊性的消極一面。同時，低年級學生對知識內容的學習效果能夠較為全面的呈現出來，這就為教師發揮自身主導特性，開展有效教學活動提供了條件和基礎，為選取有針對性的教學策略提供了事實依據。而課堂教學是一個隨機性、開放性的教學過程，沒有固定程式，一層不變的教學套路，是動態發展，適時變化。這就要求教師要具有較好的教學機智，預測到學生在課堂上對知識的理解、技能的掌握、方法的運用所出現的問題，認真研究教學內容，深刻掌握和領會教學目標和學習要求，并能在實際操作中，根據教學實際和學生學習實情需要，有針對性地設計教法，加以調整，使教學活動更具針對性和時效性，實現學生對教學重難點的有效掌握和解答。

例如在教學除法算法時，有許多學生在除法計算時經常將“除一個數”和“除以一個數”看作是同一個除法算式。因此在備課時，教師將“一個數除以一個數”和“一個數除一個數”作為教學的重難點。同時，在課堂教學過程中，通過采用引導、計算、觀察和分析等方式，讓學生認識和掌握“除以”和“除”之間的區別和聯系，使學生能夠深刻掌握和領會“除以”實際上就是“前面一個數除以后面一個數”，“除”實際上就是“用后面一個數除以前面一個數”。最后，再讓學生進行針對性的鞏固練習，從而使學生準確掌握學習內容，提高學習成效。

二、立足學生認知特點，勤于捕捉，實現教學反饋及時矯正

數學知識的形成過程是一個不斷豐富、不斷充實、不斷嚴密的發展過程，學生學習知識的過程同樣如此。由于小學生受自身學習能力、知識素養、思維水平等方面的影響和制約，在學習知識和解答問題過程中易出現問題或不足。而課堂教學是教師獲取學生學習信息的主渠道、主陣地。教師在日常課堂教學過程中，要善于具有“火眼金睛”，根據不同類型學生學習的實際情況，認真觀察學生的學習反應，學習表現和解答效果，及時掌握和抓住學生學習活動表現出的優點和存在的不足，實時調整和優化課堂教學教法，讓學生在循循善誘、逐步引導中認識自身學習不足，及時改正缺點，及時進行反饋與矯正，從而將傳授知識的過程變為培樹良好學習素養的過程。

如在教學“異分母加、減法”問題時，有些學生計算此類算式時，沒有將異分母通分為分母相同的分數，而是直接進行加、減法的計算。教師針對學生這一情況，引導學生在充分討論的基礎上，指出：進行異分母加減法時，分數單位不同的分數是不能直接相加減的，應該將異分母分數通分為分母相同的分數，然后再進行加減法的計算。在此過程中，教師通過學生課堂練習的教學反饋，通過實施的指導和講解，使學生能夠及時認親自身不足，從而進行有針對性的矯正和改進，有效提升了學生的解題能力。

三、彰顯教學互動特點，善于引導，確保積極情感有效樹立