序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學思維的含義范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

高中數學解題受到函數概念認知的干預，在高中數學習題解答中，函數模型的應用有著很重要的作用，要想高效解答高中函數習題，利用函數模型解答是最正確的行為。高中數學中最困擾學生的一個問題就是函數，大多數高中生對函數概念的認知程度不夠，導致函數習題解答中出現了很多困難，學生對高中數學產生畏懼心理。高中生必須具備函數概念認知，才能從根本上解決函數習題中遇到的困難，減輕對函數乃至于數學的畏懼心理。

一、認識函數

1.認識重要性，提高學習動力。

學生大量接觸函數是在高中時期，函數是大多數高中生心目中比較難掌握的知識點，但是高中時期函數是數學課中很重要的知識點，要想提高高中生的數學成績，就必須解決函數這個對高中生來說很難的問題。對一般實際生活中的問題利用函數模型解決就是函數，高中數學學習中，函數占據重要地位，并且是最難懂最難學的知識點，函數在大多數高中生心目中并沒有清晰的認知，導致函數學習中存在很多不容易解決的難題。并不是說沒有辦法提高高中生對函數概念的認知，深入了解函數模型和概念，能夠有效解決函數中的難題[1]。函數同時是高考數學科目考查的難點和重點，所以對函數概念進行深刻把握具有重要意義。

2.了解概念，破除認知障礙。

函數的概念：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫做自變量。

在一般書籍和資料中，函數的概念就是用x和y表示一個函數模型，函數習題中經常解決的是實際存在的問題，高中學生的函數學習任務就是利用函數模型對這些實際問題進行解決。函數對于高中學生來說并不陌生，學生對實際中存在的問題也不陌生，但是在解決實際問題中使用函數就不一樣了，大多數高中生利用函數模型解決實際問題的時候常常不能靈活運用函數模型，學生對函數概念的認知障礙就是這樣形成的[2]。所以必須提高學生利用函數解決實際問題的能力，但是提高運用能力的時候首先要對函數的概念有深刻的認識。

二、函數的了解方法

1.參考資料，實地思考。

高中學生深入了解函數概念的最主要方式就是參考相關資料，翻閱對函數模型有一定解釋的書籍，通過書籍中對函數概念的理解對函數概念有深入認識。高中函數最重要的問題就是利用函數解決實際生活中的問題，所以通過相關資料和書籍對函數概念有深刻認識之后，要結合實際生活情況，把習題放進實際生活環境中解答，這樣關于函數的一切問題就會變得更加簡單化和生活化，再把和習題相關的函數模型運用到習題解答中，就能快速高效地解答函數習題。

2.結合實際，舉例分析。

枯燥的理論對于學生的學習來說往往不重要，為了讓學生感受到課堂樂趣及讓學生更信服，需要相關函數例子佐證。

案例：

題目：納稅是我國每一個公民都應該盡到的義務，進行生產經營活動的商鋪和企業必須向稅務部繳納一定的稅務。某市對于服裝業的稅收標準如下：每月銷售額在2000元以內的征稅400元，超過2000元的，前2000元收300元的稅款，超出2000元部分的稅率是3%.

問：（1）寫出該市服裝業征收的稅金y（元）和營業額x（元）的函數關系式。

（2）該市某一個服裝店7月份的營業額是50000元，這家服裝店七月份該繳納的稅金為多少？

分析：這道函數習題背景就是我國一般的納稅問題，結合實際生活中納稅的情況進行分析，根據題目中表達的情況，對稅金（y）和營業額（x）之間的函數關系式進行設定，這樣不僅解決了函數習題，而且是對實際生活中的問題的解答。

高中生的數學學習受到函數概念認知的影響和干預很大，用函數習題的解答能夠幫助學生對函數概念有深刻的認知，靈活地對實際生活中的問題利用函數概念解決。

三、結語

在高中數學乃至高考數學科目中，函數占據重要地位，所以高中學生必須學好函數。利用函數模型解答實際生活中的問題，這就是數學解題受到函數概念認知干預的后果。

參考文獻：

篇（2）

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數

關系式可能是錯誤。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）

故函數關系式為：S=x（50-x）。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0＜x＜50。

即：函數關系式為：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

二、函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

例2：求函數y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。

解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4

當x=1時，y =-4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。

其實以上結論只是對二次函數y=ax +bx+c（a＞0）在R上適用，而在指定的定義域區間［p，q］上，它的最值應分如下情況：

（1）當- ＜p時，y=f（x）在［p，q］上單調遞增函數f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（2）當- ＞q時，y=f（x）在［p，q］上單調遞減函數f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）當p≤- ≤q時，y=f（x）在［p，q］上最值情況是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值。

故本題還要繼續做下去：

-2≤1≤5

f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3

f（5）=5 -2×5-3=12

f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

函數y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。

三、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例3：求函數y=4x-5+ 的值域。

錯解：令t= ，則2x=t +3，

y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。

故所求的函數值域是［ ，+∞）。

剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函數，

所以當t=0時，y =1。

故所求的函數值域是［1，+∞）。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

四、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。

五、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點呈中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析的能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生的思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。

參考文獻：

［1］王岳庭主編.數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集.北京：海洋出版社，1998.

篇（3）

關鍵詞 初中數學；教學活動；思維含量；問題意識；方法

學生問題意識的開發與培養，對于學生的個人發展來講有著重要的作用，更有利于學生主體地位在課堂中的體現。初中學生具有了問題意識，在課堂上就會更加積極主動地提出問題，對未知的數學知識有著無限的求知欲望，促進學生自主學習能力以及探究能力的形成。學生的數學思維量提高，問題意識形成，是學生進行數學探究與尋找數學規律的基礎。學生不斷提高，思維不斷運動，思維量的提高與問題意識的形成是相互影響的兩部分。筆者選擇初中數學教學中培養學生問題意識，提高學生思維量的方法作為研究對象是有一定教育意義的。

一、提高學生學習興趣，促進學生提問

學生的學習興趣對于初中學生的課堂表現活躍度有著重要的影響。學生喜愛數學學科學習，就會將更多的精力投入于數學學習中，配合教師進行教學任務的開展。而學生厭惡數學學科學習，則不會與教師進行思想與言語上的任何互動，認為課堂教學與其個人的關系不大。所以，加強學生學習興趣的提高，是對學生問題意識進行培養，促進學生數學思維含量提高的重要方法。興趣的存在，會使初中學生的求知欲望大大提高，自主進行初中數學知識的探索與發展。在課堂教學中，教師需要利用多樣化的教學方法，打破傳統教學模式的限制，為學生學習興趣的提高而做出努力。教師可以將數學教學與其它學科的知識進行聯系，利用社會熱點問題來引出數學知識。也可以利用多媒體為學生進行知識傳遞方法的改革，促進教學內容的趣味化以及教學方法的活潑化。

比如在講解《有理數的加法與減法》的時候，教師就可以利用當前熱點的社會新聞為學生進行題目的設置。教師可以利用某市公交車自燃問題的引入，向學生闡述車內共有多少人，受傷多少人，死亡多少人，讓學生計算沒有傷亡的人員數量。這樣的課堂引入與鋪墊，會使初中學生的數學思維得以擴展，更有利于激發學生的提問意識。一些學生會就公交車自燃的原因進行提問，一些學生會對車上的兒童數量進行提問，也有學生會對數學計算問題進行的提問。由此可見，當學生的學習興趣得以提高的時候，學生的提問積極性大大提高，有利于初中學生數學思維量的提升。

二、打造平等師生關系，促進學生提問

在過去的初中數學教學活動中，學生會習慣于聽取教師的講解，只要是教師說的，對的是對的，錯的也是對的。這樣的教學活動中，學生將教師視為不可侵犯的神圣，不敢進行課堂提問。學生具有疑問，而不提問，使教師沒有給學生機會，沒有給學生勇氣。當代的初中數學教師需要對自己的教學思想進行更新，不能只顧著自己的權威，而抹殺了學生的學習權利。課堂上只存在教師一個人的聲音，是對學生學習主體地位的極大不尊重。教師需要與學生建立起平等的師生關系，在課堂上給學生發言的機會，讓學生的聲音充滿數學課堂，使學生覺得有東西可以問。初中學生的數學問題意識的培養，需要習慣的養成以及成效的出現。一個良好的教學氛圍，有利于師生關系的平等，也有利于初中學生質疑能力與提問能力的提高。無論學生提出多么幼稚的問題，教師都不可以取笑學生，要尊重學生提出的問題，鼓勵學生再次提出問題。

比如在講解數軸的相關知識的時候，一些學生會提出這樣的問題“老師，為什么要用數軸表示數呢？”。面對學生的問題，教師要有耐心，歡迎與肯定學生的提問，為學生進行科學的講解。不能說“這就是一種數的表示方法”這樣的話來搪塞學生的提問。教師可以引導學生就自己的提問發表一些看法，讓學生的思維運動起來。之后，利用大家的力量對學生的問題進行解決，在課堂中加強師生互動的頻率，共同解決問題。這樣平等的師生關系以及活躍的學習氛圍有利于學生問題意識的培養，促進學生敢于提問。

三、構建數學激勵平臺，促進學生提問

讓學生樂于提問，是對學生問題意識培養的一個重要環節。當學生做到自主提問與樂于提問的時候，教師對學生問題意識的培養目標也就達成了。在過去的初中數學教學中，教學模式一直局限在教師講與學生聽的模式中，單調學習方法大大扼殺了初中學生的提問積極性，也使初中學生逐漸喪失了自主學習的能力與方法。學生成為學習活動中的被動者，配合教師完成教學任務。受到傳統教育思想的影響，許多教師認為在課堂上表現老實的學生就是好學生，這也是造成學生沉默的重要原因。教師要轉變教學思想，認識到學生活躍對于課堂效率提高的重要作用。教師要制定合理的激勵平臺，讓學生認識到提問對于自己具有好處，在課堂上積極進行提問。

比如教師可以將學生的課堂提問表現進行記錄，在考試成績中進行相應的加分。一次提問計為0.5分，最后計入到下一次的整體檢測與考核中。這樣的激勵平臺建立，會使學生找到提問的目標與提問的意義，更加積極的提高，保持思維在數學課堂上的運動。

綜上所述，初中學生具有較為活潑的性格，他們也渴望在數學課堂教學活動中獲得自由。提升學生的數學思維含量，培養初中學生的問題意識，是當前初中數學教師肯定學生地位，給予學生自由的重要思想與方法。筆者從初中數學教學內容出發，提出了三點促進學生提問，培養學生數學思維的方法。希望初中數學教師積極利用有效策略，對初中學生數學思維含量進行提高，培養學生問題意識。

篇（4）

數學是一種語言，但由于數學語言具有符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等特點，與其他學科的閱讀存在很大的差異.

一、數學閱讀的特點

首先，由于數學語言的高度抽象性，數學閱讀需要較強的邏輯思維能力.在閱讀過程中，讀者必須感知材料中的數學術語和符號，并能分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的理解，形成知識結構，這里面就需要邏輯思維和推理能力.

其次，數學語言還具有精確性的特點，每個數學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清和易產生歧異的詞匯，數學中的結論錯對分明.當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯.因此，瀏覽、快速閱讀方式不太適合數學閱讀的學習.

第三，數學閱讀要認真細致.由于數學知識的邏輯嚴謹性及數學“言必有據”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義.對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并認真分析直至弄懂含義.數學閱讀常出現這樣的情況，認識一段數學材料中的每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數學含義，更難體會到其中的數學思想方法.數學語言形式表述與數學內容之間的矛盾決定了數學閱讀必須勤思多想.

第四，數學閱讀過程中語意轉換頻繁，要求思維靈活.數學教科書中的語言是通常的文字語言、數學符號語言、圖形語言的交融，數學閱讀重在理解領會，而實現領會目的的行為之一就是把閱讀交流內容轉化為易于接受的語言形式.例如，把一個用抽象表述方式闡述的問題轉化為自己的語言；把用符號形式和圖表表示的關系轉化為言語的形式以及把用言語形式表述的關系轉化為符號和圖表的形式；把一些用語言形式表述的概念轉化為用直觀的圖形表述形式；用自己更清楚的語言表述正規定義或定理.

學生的數學語言特點及掌握數學術語的水平，是其智力發展和接受能力的重要指標.數學語言水平發展低的學生，課堂上對數學語言信息的敏感性差，思維轉換慢，理解能力差.因此，重視數學閱讀，豐富數學語言系統，提高數學語言水平有著重要而現實的教育意義.在新課改中，幫助學生提高數學閱讀水平就顯得非常重要.

二、數學閱讀教學的注意事項

1．引導學生讀概念，對于數學概念必須理解每個字的含義，會用正確的語言敘述，能舉出符合含義的例子，對別人所舉的例子，會根據概念的定義判斷是否正確.

2．引導學生讀定理、公式，要分清定理、公式的條件和結論以及適用范圍，要掌握推導的思路和方法，在參與推導的過程中要提高抽象思維能力，掌握定理、公式的具體應用.

例如，求根公式的推導，我們不僅要記住公式，還要記住公式的適用條件，公式推導包括很重要的數學思維方法，還要明確求根公式的應用，這些顯然是死記公式、套用公式所不能達到的.

3．引導學生讀例題時要審清題意，自己先嘗試解答，而后與課本上的解答作對照，若自己錯了，就要找出錯誤原因；若對了，要看自己的解答和課本上有什么不同，哪一種方法更好，對一組相關聯的例題要相互比較，著力尋找、領悟解題規律，掌握規范的書寫格式.

篇（5）

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002—7661（2012）20—265—02

言語是個體借助語言材料傳遞信息，交流思想，表達自己的情感，和影響別人的過程。言語不能離開語言材料、語法結構而獨立存在。數學言語離不開數學語言。數學語言比較枯燥乏味，所以，培養數學語言比培養語文語言要難得多。

長期以來，人們總認為發展語言能力，是語文學科的任務，其實不然。掌握言語，也是學習數學學科的必要手段，因此，在兒童入學以后，也要在數學教學中培養小學生的言語能力，才能提高學生數學方面的思維素質，很多兒童在數學學習上落后，尤其是低年級，常常是和數學方面的言語掌握得不好有很大的關系。

人的思維和言語是緊密聯系在一起的，數學言語的發展，能提高數學概括水平，數學的概念，定理，公式，法則都是抽象的，是概括出來的，思維具有概括性，所以，提高了言語的發展水平，將會提高概括水平，也就提高了思維素質。

為什么要訓練小學生數學方面的語言能力，這可以從下面的幾個方面來概括說明。

1、開發大腦功能，提高智力水平 現代科學研究揭示，大腦左右半球各有分工：右半球具有形象，靈活，綜合等形象思維的優勢；左半球具有語言、計算邏輯、分析思維的優勢。小學生必須在掌握了一定的數學語言規律后才能獨立思考數學問題。

2、訓練數學言語，有利于分析解題思路 很多學生能解題，但說不出其中的道理，或者說不準其中的理由，這不利于學生之間的情感交流，這是學生的數學言語未能得到發展的原因，而說不出或說不準道理，又會阻礙對數學的學習。

3、要提高解題能力，就要提高理解能力 數學離不開解題。理解能力強的學生，一般來說，成績較好，相反，理解能力差的學生，能力較差。

4、訓練數學言語，有助于學生總結學習經驗 探索學習規律；有助于學生為將來寫論文打下良好的基礎，有助于老師得到學生準確的信息反饋，培養學生創造性思維，分析解題思路，只有把教學方法與學習方法有機地結合起來，才能大面積地提高教學質量。

5、小學一年級學生理解數學言語特別重要 小學一年級的數學，本來是很簡單的，但他們也不是人人都能學好，一個極大的原因就是他們未能理解言語。

言語分為口頭言語、書面言語和內部言語。

如何訓練學生的數學言語，下面試談我的看法。

一、訓練學生的口頭言語，主要從聽和說兩方面來加以論證

1、訓練學生的口頭言語 對老師本身來說，要盡量為學生營造良好的言語環境 老師的語言，應該是規范的，不能采用生僻的詞語，老師在備課中，要備語言，怎樣提問，怎樣啟發，都要寫在教案本上。

2、小學生學習數學語言，應從模仿開始 剛入學的兒童老師要把數學語言說給學生聽，再用本地話來解釋。如：羅馬人的“計算”一詞與“石塊”是同一個詞，因為當時人們的計算是離不開石塊的；有些民族的“計算”一詞與“手指”是同一個詞。因為人們常常用手指來幫助計算。又如：“一共”在本地是怎樣解釋的，先讓學生與本地的某個意思對號入座，不然，不是講普通話方言的學生就無法理解“一共”的含義。老師講了某個數學名詞術語后，再讓學生復述這個名詞術語及其意義，讓學生模仿老師的語言。

3、老師操作教具作示范，讓學生口述操作過程，這有利于培養學生認真看和口述事物發展的順序，有利于明確算理 教學一年級學生讀題，同教學語文一樣，讓學生跟老師讀，讀了以后，再讓學生自己讀，隨著年齡的增長，要求學生自己多讀數學課本，不要認為只有語文才要讀，對概念，定理，法則要多讀，甚至背熟，對簡單的應用題，由老師經常念題，學生聽，聽后就做出來，這也有利于培養學生專心致志地聽的習慣。

4、比較難理解的句子，要讓他們多讀句子的解釋 如：“甲數比乙數多20%”，這樣的句子，大多數學生都說不清楚它的含義，老師給他們解釋后，要讓他們多讀，以便舉一反三，它的含義是：“甲數比乙數多的數量是乙數的20%”。

篇（6）

由于數學語言的高度抽象性，在閱讀過程中，讀者必須認讀感知閱讀材料中有關的數學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據數學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。

二、數學閱讀要訓練學生養成嚴謹的學風

數學語言的特點也在于它的精確性，每個數學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產生歧義的詞匯，數學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的每個數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數學閱讀學習。

三、數學閱讀能培養學生認真細致的態度

閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節，進行跳閱或瀏覽無趣味的段落，但數學閱讀由于數學教科書編寫的邏輯嚴謹性及數學“言必有據”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義。對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義。數學閱讀常出現這種情況，認識一段數學材料中每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數學含義，更難體會到其中的數學思想方法。數學語言形式表述與數學內容之間的這一矛盾決定了數學閱讀必須勤思多想。

篇（7）

教學知識體系中所包含的符號語言豐富多彩，看似沒有任何色彩和情感，但是在數學學習者的眼中，每一個符號都代表著一定的含義，具有自身獨特的美，每一個數學符號都恰似一個熱情的舞者，具有無法言喻的美感。

二、融會普通語言與數學語言

我們所說的普通語言即日常生活中用于交流的語言，是人與人之間溝通的工具。普通語言讓學生感到親切，因為學生熟悉，因此容易理解。所以作為數學語言的學習，需日常語言的幫助，以普通語言作為解釋的工具。學習數學語言同樣需要日常語言的幫助，融會這兩種語言，就可把數學語言學習好。融會這兩種語言首先是將普通語言譯為數學符號語言，這在方程中可得到驗證，即把語言轉變為符號。其次是將數學語言譯為普通語言。數學是十分抽象的知識，如果學生能用普通語言復述定義和解釋概念，那么就說明學生完全理解了數學的含義。

三、數學語言的通用性

作為表述概念和含義的數學語言，表述簡潔，具有獨特的學術價值，應該說數學語言是科學語言的基礎。數學語言和普通語言不同之處就是世界的通用性，不屬于哪個民族。雖然可互為解釋，但還是與普通語言具有一定的差異性，普通語言學得好，不等于數學語言學得好；但數學語言的學習是需要一定的普通語言作為基礎的。

四、掌握數學語言的重要性

篇（8）

北師大版的教材和人教版教材是全國范圍內使用較為廣泛的兩個版本，將這兩個具有代表性的版本進行比較，是希望通過兩者理念、經驗方面的碰撞，達到相互借鑒、取長補短的目的，為教師教學資源的選擇以及教學設計工作提供參考和建議。

一、兩版本教材比較

（一）相同點

1.內容安排位置大致相同

《絕對值》是在引入有理數和數軸以及相反數等基本概念后又一探究、學習的重要內容，一方面，數軸的概念、畫法、利用數軸比較數的大小及相反數的概念為本節內容奠定了基礎；而另一方面，在有理數運算以及后面根式內容中，都是以絕對值的知識為基礎的，因此絕對值的知識起著承上啟下的作用，是對數的擴充后相關概念的完備與補充為后續的研究提供條件。兩個版本均將這部分內容置于絕對值都安排在相反數和加減法之間。

2.兩版本教科書呈現“絕對值及其含義”的路徑基本一致

北師大版呈現“絕對值及其含義 ”的路徑：

生活中的距離問題文字語言描述絕對值定義絕對值的符號語言用文字語言表述絕對值的代數含義。

人教A版呈現“函數及其含義”的路徑：

卡通形象的距離問題借助字母描述絕對值定義絕對值的符號語言用文字語言歸納絕對值的代數含義絕對值代數含義的符號語言。

3.情境引入問題的設計理念大致相同

北師大版與人教版都是借助從實際生活情境中行駛問題抽象出的數軸關注點與點的距離這一核心概念。這樣的處理體現出這兩個版本的編者運用直觀手段本身來進行數學研究的理念。

（二）兩版本的不同點

1.絕對值的定義表述不同

北師大版中的絕對值定義：“在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值”；人教版中的絕對值定義：“一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值”。北師大版對絕對值定義的表述簡潔、直接，而人教版的定義表述借助字母a這一符號化的表示來定義絕對值，定義中有明確的對象，并且是這一字母具有實際的取值范圍，便于師生、生生的表達，交流。

2.絕對值的符號化表示的過程、舉例不同

北師版中：“＋2的絕對值等于2，記作＋2=2，－3的絕對值等于3，記作－3=3”，直接將絕對值的文字語言轉化為符號語言，―正、一負兩個數的絕對值，應用絕對值的幾何含義求出例題中各數的絕對值，并考慮“一個數的絕對值與這個數有什么關系”，由此歸納出絕對值的分類情況。人教版利用絕對值的定義直接將數a的絕對值符號化，并且繼續列舉如下：“A、B兩點分別表示10和－10，它們與原點的距離都是10個單位長度，所以10和－10的絕對值都是10，即10=10，－10=10。顯然0=0”。“數學知識的形成依賴于直觀”，[6]運用絕對值的較為直觀的幾何含義分別求出這三個數的絕對值，在此基礎上直接將文字語言符號化，經歷了兩次抽象的過程，第一次運用絕對值的幾何含義得到各數的絕對值并用文字語言表述，第二次將絕對值的文字語言符號化表示出來。這樣的過程增加了概念中的直觀性與抽象性直接的聯系與轉化，“就數學而言，直觀與抽象不是對立的，它們從來都是它的雙翼”，突出了概念的雙向性，加深了學生對于絕對值概念的理解和掌握。符合“通過數形結合的方法實現抽象與具體之間的轉化”的原則。七年級學生對數學中的符號語言剛剛接觸，學習時理解很困難，建議北師版教材設計時，突出概念的幾何含義，在學生的深刻理解絕對值的幾何含義后，再利用概念的幾何含義求數的絕對值。

3.絕對值的代數含義探索及歸納過程不同

北師大以一正一負兩個數為例，在此基礎上提出思考“互為相反數的兩個數的絕對值有什么關系？”，用具有較為一般性的例子，再指向具有特殊性的兩個互為相反數的絕對值的代數含義的探究，接著以求兩負一正，及0等四個數的絕對值，在經歷了一個思考一道例題的探求過程后，提出“一個數的絕對值與這個數有什么關系？”的討論，歸納出絕對值的代數含義。人教版在經歷一對相反數＋10、－10的絕對值的表示及結果后，直接歸納出絕對值的代數含義，此過程沒有太多的過程與練習，寥寥數語就得出絕對值的代數含義，整個過程簡短，學生對數學知識的掌握也要經歷量變到質變的過程，建議教學時解決練習1后再歸納絕對值的代數含義。

篇（9）

不僅數學本身具有很強的抽象性和概括性，就是數學的語言都具有高度抽象性，因此，就是在閱讀一道題目的過程中，讀者也必須認讀感知閱讀材料中有關的數學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據數學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。

二、數學能讓一個人養成嚴密的思維習慣

數學除了它的邏輯性外，也在于它的精確性。在數學課本或和其相關的內容上，所有信息都是通過文字的符號和數學的符號來傳遞的。因此，數學的每個概念、符號、術語都有其精確的含義，絕不能有含糊不清或易產生歧義的詞匯。數學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的每個數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視忽略任何一個不理解的詞匯。

三、數學能讓一個人養成認真仔細的良好素養

因為數學自有的特性，所以在學習數學的整個過程中，不能有一點馬虎或粗心，否則就會與題干的要求發生偏離和誤解，導致所有后面的行為和付出，都會成為一種無效的行為。我們閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節，進行跳閱或瀏覽無趣味的段落，但數學閱讀由于數學教科書編寫的邏輯嚴謹性及數學“言必有據”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義。對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義。數學閱讀常出現這種情況，認識一段數學材料中每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數學含義，更難體會到其中的數學思想方法。

四、數學能開發和培養學生的思維

小學的數學，很主要的內容是一種運算。除了運算之外，也有些一些數學符號、圖形內容的涉及。教科書中的語言可以說是通常的文字語言、數學符號語言、圖形語言的交融，數學閱讀重在理解領會，而實現領會目的的行為之一就是“內部言語轉化”，即把閱讀交流內容轉化為易于接受的語言形式。如把一個用抽象表述方式闡述的問題轉化成用具體的或不那么抽象的表達方式表述的問題，即“用你自己的語言來闡述問題”；把用符號形式或圖表表示的關系轉化為言語的形式以及把言語形式表述的關系轉化成符號或圖表形式；把一些用言語形式表述的概念轉化成用直觀的圖形表述形式；用自己更清楚的語言表述正規定義或定理等。

其次，在小學數學教學過程中，教師要有培養學生創新思維的策略。為此，又需從如下幾個方面展開。

1.課堂練習要突出新穎多樣、趣味性

“興趣是最好的老師”，根據小學生的年齡和心理特點，從學生的生活經驗出發，設計生動有趣、直觀形象的數學練習，開展各類小競賽等。課堂練習應該要挖掘其中的趣味性、具有挑戰性，設計富有趣味的問題作為課內外作業，讓學生在趣中練，從而使學生產生內在學習的動力。同時，《小學數學學科教學建議》明確指出：“及時檢查、批改作業，指導學生積極反思、自覺訂正作業錯誤。記錄和分析作業中常見的典型錯誤，及時查漏補缺、改進教學。”因此，教師要組織指導學生檢查、批改作業，訂正錯誤，指導學生積極反思。同時，課堂練習要設計改錯題、判斷題，讓學生學會診斷；課堂練習要設計有爭議的題，調動學生各個感官參與練習并產生共鳴。

2.數學教學中要注重思維的開放性和創新性

篇（10）

數學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素。同時，它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。但由于數學語言的符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等特點，數學閱讀又有不同于一般閱讀的特殊性，認識這些特殊性，對指導數學閱讀有重要意義。

第一，由于數學語言的高度抽象性，數學閱讀需要較強的邏輯思維能力。在閱讀過程中，讀者必須認讀感知閱讀材料中有關的數學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據數學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。

第二，數學語言的特點也在于它的精確性，每個數學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產生歧義的詞匯，數學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的每個數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數學閱讀學習。

第三，數學閱讀要求認真細致。閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節，進行跳閱或瀏覽無趣味的段落，但數學閱讀由于數學教科書編寫的邏輯嚴謹性及數學 “言必有據”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義。對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義。數學閱讀常出現這種情況，認識一段數學材料中每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數學含義，更難體會到其中的數學思想方法。數學語言形式表述與數學內容之間的這一矛盾決定了數學閱讀必須勤思多想。